Funciones Gamma y Beta

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Luego,r(x)r(l - x)Haciendo pi = w, es fácil ver que1 (resultado conocido)senst x,2 FUNCION BETA.Se define la función <strong>Beta</strong> porHaciendo el cambio t = sen 2 ()en (7), se tiene quez>Op>Ox>Oy>O(6)(7)¡-rr/2 2x-2 2y-2B(x, y) = Jo sen () cos () ·2sen()cos()d()de donde¡-rr/2 2x-l 2y-lB(x, y) = 2 Jo sen () cos () d()Si en (7) se hace u= l~t'se tiene quex>Oy>O(8)( )X-l ( )y-l dB(x,y)= looo u:l U:l (u+u 1 )2y al simplificar queda4
OO u x - 1B(x, y) = Jo (u + l)x+y ,Tomando p=l+u y z=x+s] en (6), quedax>Oy>O(9)y al sustituiresta expresión en (9), se tiene queB(x, y)Si en la integral respecto a u se usa de nuevo (6), se tiene queB(x, y)de donde se obtiene la importante relaciónDe (10) resultaB( ) = f(x)f(y)x,y f(x+y)evidente quex>Oy>O(10)B(y, x) = B(x, y) (11)3. FÓRMULA DE DUPLICACIÓN DE LA FUNCIÓN GAMMA.De acuerdo con (7) y (10)r(x)f(y) = (ItX-I(l _ t)y-Idtf(x+y) Jo,Para x=y, queda5
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