Funciones Gamma y Beta

FUNCIONES GAMMA Y BETA1. LA FUNCIÓN GAMMA. PROPIEDADES ELEMENTALES.La función Gamma fue definida por Euler medianter(x) = fooo e-ttX-1dt , x » O (1)donde la condición x>O es exigida para la convergencia de la integral.En vez de una rigurosa demostración de la convergencia, se justificaráésta mediante el siguiente razonamiento:Se tiene que e-tt x - 1 ~ O cuando x ~ 00, de manera que no se esperaninconvenientes en el límite superior de la integral. Cerca del límite inferiort=O, el integrando se aproxima a t x - 1 ya que e- t ~ 1. De esta maneray para que el primer término de la derecha permanezca finito, se debe tenerx>O.De la definición (1) es fácil ver queyr(1/2) = fooo e- t r 1 / 2 dt = 2 foDO e- u2 du = 2 (~) = ~1(Resultado conocido)Una relación básica de la función GammaesI'(c + 1) = xr(x)la cual se deduce a partir de (1) e integrando por part.es, como sigue:(2)1

(x + 1) - 100e-ttX-1dt[-~: + x100e-ttX-1dt= xr(x)OLa fórmula (2) juega un papel importante en el cálculo de valores de lafunción Gamma.Si se toma x=n (n entero positivo) y se usa (2) repetidamente, se tienequer(n + 1)nr(n)n(n - l)r(n- 1)n(n - l)(n - 2)r(n - 2)- n(n - l)(n - 2) ... ·1 . r(l)esto esr(n + 1) = nI (3)Esta última expresión puede usarse para definir 01, si se aplica para n=O,obteniéndose01= I'(l ) = 1Análogamente, para n entero positivo, se observa quet2

(71,+ 1/2) - (71, - 1/2)r(71,- 1/2)- (71, - 1/2)(71, - 3/2)r((71, - 3/2)de donde- (71,- 1/2)(71, - 3/2)(71, - 5/2) ·1/2· r(I/2)(271, ; 1) (271, ; 3) (271, ; 5) ~J1fLa función Gammar(71,+ 1/2) =satisface1 . 3 . 5 .... (271, - 1)J1f2 n(4)'Trr(x)r(1 - x) = ,O < x < 1se71,'TrXEn efecto:Usando (1) se tiene que(5)r(x)r(1 - x) - fooo e-ttX-ldt· fooo e-s s-xdsfooo fooo e-(t+s)tx-ls-XdtdsHaciendot uv uu=t+s , v=- t--- s=--s -1+v' 1+vse tiene que el Jacobiano de la transformación viene dado por8(t,s)8(u,v)_ I ¡! ¡! I = I l~v (l';v)2 I8~ 8~ l¡v - (l';v)2U(1+ V)2l3

Luego,r(x)r(l - x)Haciendo pi = w, es fácil ver que1 (resultado conocido)senst x,2 FUNCION BETA.Se define la función Beta porHaciendo el cambio t = sen 2 ()en (7), se tiene quez>Op>Ox>Oy>O(6)(7)¡-rr/2 2x-2 2y-2B(x, y) = Jo sen () cos () ·2sen()cos()d()de donde¡-rr/2 2x-l 2y-lB(x, y) = 2 Jo sen () cos () d()Si en (7) se hace u= l~t'se tiene quex>Oy>O(8)( )X-l ( )y-l dB(x,y)= looo u:l U:l (u+u 1 )2y al simplificar queda4

OO u x - 1B(x, y) = Jo (u + l)x+y ,Tomando p=l+u y z=x+s] en (6), quedax>Oy>O(9)y al sustituiresta expresión en (9), se tiene queB(x, y)Si en la integral respecto a u se usa de nuevo (6), se tiene queB(x, y)de donde se obtiene la importante relaciónDe (10) resultaB( ) = f(x)f(y)x,y f(x+y)evidente quex>Oy>O(10)B(y, x) = B(x, y) (11)3. FÓRMULA DE DUPLICACIÓN DE LA FUNCIÓN GAMMA.De acuerdo con (7) y (10)r(x)f(y) = (ItX-I(l _ t)y-Idtf(x+y) Jo,Para x=y, queda5

(L)'V'I5II I4I II I 3I II I 2I II I 1I I1-1 3 4 L1I -1II-2III -3¡~-4-55. EJEMPLOS.Ejemplo 1. Calcular I'(G).r(5/2) y r(-3/2).Solución.Usando (3): I'(G]= r(5 + 1) = 5!= 120.Usando (4): r(5/2} = [(2 + 1/2)= ~.;vii = ~J1f.Ejemplo 2. CalcularSolución.(:O 31= Jo JXe- x dx7

l(donde se ha usado la definición (1))11= VX e - x dx = _Y_/1o 300 3 !JiEjemplo3. CalcularSolución.r' a a 6 r 1 a 61= Jo a 4 t2Ja 2 - a 2 t· 2Cl/2dt = 2 Jo t 3 / 2 (1 - t)1/2dt = 2B(5/2, 3/2)(donde se ha usado la definición (7).Ahora, según (10), se tiene que1= a 6 r(5/2)r(3/2) = a 6 ~ft· ~ft2 r(4) 2 3!EjemploSolución.4. Calcular00 dx1-10- o 1+ x 48

(donde se ha usado '(9)).Según (10) y (5), se tiene queI=! r(1/4)r(3/4) = !r(1/4)r(1 _ 1/4) = ~_7r_4 I'(l ) 4 4 se71,¡roo dx 7r1= Jo 1+ x4 = 2V26. OTRAS DEFINICIONES DE LA FUNCIÓN GAMMA.Definición de Gauss:Definición de Weierstrass:' 71,! 71,Xr() x = l un. ---:----:----:----:----:------:-x->oo x(x + l)(x + 2) ... (x + 71,)1 00 (X)-- = xe!" rr e- x / n 1+ -r(x) n=l . 71,, es la constante de Euler, la cual está dada por(14)(15), = lím (Hn -In 71,) ~ 0.57721566n->oodonde111H = 1+ - + - + .... +-n 2 3 n7. FUNCIONES GAMMA INCOMPLETAS.Se definen las funciones Gamma incompletas por,(x,a) = loa e-ttX-1dt(16)r(x, a) = Loo e-ttX-1dt(17)Es evidenteque,(x, a) + I'{z , a) = I'(z)9

8. EL SÍMBO;LO(A)k DE POCHHAMMER.(A)O = 1(Ah = A(A + l)(A + 2) ... '(A + k - 1) = r(~(:t) (18)10

EJERCICIOS1. Demostrar:2. Calcular:11

3. Demostrar:12

BIBLIOGRAFÍA1. N.N. Lebedev: SPECIAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS.Dover Publications, Ine.2. W.W. Bell: SPECIAL FUNCTIONS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS.D. Van Nostrand Company, Ud.3. E.D. Rainville: SPECIAL FUNCTIONS. Chelsea Publishing Company.4.M. Spiegel: ANALISIS DE FOURIER (Serie de Compendios Shaum). MeGraw-Hill.13