EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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Problema 3. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a) El producto de matrices simétricas es una matriz simétrica.b) El producto de matrices antisimétricas es una matriz antisimétrica.c) El producto de matrices tridiagonales es tridiagonal.d) El producto de matrices triangulares superiores es triangular superior.e) El producto de matrices doblemente estocásticas es una matriz doblemente estocástica.Problema 4. Suponga que la matriz A es nilpotente, es decir, existe n ≥ 1 tal que A n = 0. Muestre quela matriz I − A es invertible y que su inversa esI + A + A 2 + . . . + A n−1 .2. Usa matrices para modelar.Problema 1. Considere un grupo de personas que interactúa de acuerdo a una cierta relación. Si anotamospor P 1 , . . . , P n estas personas, construimos una matriz A de modo que A ij es igual a 1 si P i está relacionadocon P j y cero si no. Como convención P i no se relaciona consigo mismo.a) ¿Cuál es el significado de A 2 ?b) ¿Es posible que haya elementos no nulos en la diagonal de A 2 ? ¿Cómo se interpreta?c) En un vecindario hay 4 personas P 1 , P 2 , P 3 y P 4 . Si P 1 escucha un rumor, ésta se lo cuenta a P 2y P 4 . P 2 le cuenta todos los rumores a P 3 . P 3 le pasa los rumores a P 1 y a P 4 no le gusta contarrumores.i) Si P 1 sabe un rumor, ¿después de cuantos pasos lo sabrán todos?ii) Si P 3 sabe un rumor, ¿después de cuantos pasos lo sabrán todos?d) Encuentre otra interpretación social a: “P i está relacionado con P j ”.3. Clasifica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales usando el algoritmo de Gauss. Usa el algoritmode Gauss para determinar invertibilidad de matrices y para calcular inversas.Problema 1. Determine los valores para los parámetros α y β para los cuales el sistema de ecuacionesx + 2y + 3z = 1,2x + 3y + 4z = β,3x + 4y + αz = 1,tiene como conjunto solución:98
Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 1a) Un singleton.b) El conjunto vacío.c) Un conjunto infinito.¿Puede que el conjunto solución del sistema tenga dos elementos?Problema 2. Encuentre el conjunto solución del sistemax + 2y + 3z + w = 6,x + z + w = 3.Problema 3. Al utilizar el algoritmo de Gauss para invertir una matriz se ha llegado a la siguiente matrizintermedia⎛⎞1 31 −71 100 6 13 41⎜⎝ 0 0 0 −5⎟⎠ .0 0 7 85Determine si la matriz original es invertible.4. Interpreta el método de Gauss como un método de factorización matricial.Problema 1. Indique qué matrices elementales hay que usar para transformar la matriz⎛ ⎞2 4 0 2A =0 3 3 1⎜⎝2 7 9 7⎟⎠0 0 6 5en una matriz triangular superior. Obtenga una descomposición LU de A.5. Determina el número de operaciones que requiere el algoritmo de Gauss.Problema 1. Determine el número de operaciones (multiplicaciones y divisiones) que requiere el algoritmode Gauss para:a) Resolver un sistema lineal Ax = b.b) Descomponer una matriz en la forma LU, cuando es posible.c) Descomponer una matriz tridiagonal en forma LU, cuando es posible.99
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