Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 48. Usa el hecho que π es trascendente sobre Q para resolver el problema de la cuadratura del círculo ola construcción con regla y compás de π.Problema 1. Problema de la cuadratura del círculo. Pruebe que no es posible construir con regla ycompás un círculo de área 4.9. Calcula el cuerpo de descomposición K p(x) de polinomios de grados pequeños.Problema 1. Calcule Q p(x) para los polinomios: x 3 − 11, x 5 − 1, x 6 − 1 y x 4 − 2x 2 − 8.10. Construye grupos de Galois para extensiones de Q y cuerpos finitos.Problema 1. Considere el cuerpo Q p(x) para el polinomio p(x) = x 5 − 1. Encuentre el grupo de GaloisG(Q p(x) , Q) y pruebe que es un grupo cíclico de orden 4.Problema 2. Sean F p m ⊆ F p n cuerpos finitos.a) Demuestre que φ m : F p n → F p n definida por φ(x) = x pm es un generador de G(F p n, F p m).b) Demuestre que G(F p n, F p m) es un grupo cíclico.11. Aplica el Teorema de la correspondencia de Galois.Problema 1. [24] Considere el cuerpo de descomposición Q p(x) para el polinomio p(x) = x 4 − 2.a) Encuentre todos los subgrupos H de G(Q p(x) , Q).b) Encuentre todos los cuerpos fijos para cada subgrupo H de la parte a) y haga los diagramas mostrandola correspondencia de Galois.Problema 2. Considere el cuerpo Q p(x) para el polinomio p(x) = x 3 −11. Encuentre todos los subcuerposde K p(x) y los subgrupos de G(Q p(x) , Q) y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois.Problema 3. Considere el cuerpo finito F p 12. Encuentre todos sus subcuerpos y los subgrupos de G(F p 12, F p )y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois.12. Usa extensiones finitas, Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para demostrar el Teorema Fundamentaldel Algebra.Problema 1. Pruebe que el cuerpo de los números complejos no admite extensiones de grado 2.Problema 2. Use los Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para probar que la única extensión finitade C es C.Problema 3. Pruebe el teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio f(x) ∈ C[x] de grado ≥ 1 tieneuna raíz en C.85