Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

) Demuestre que A es isomorfo al cuerpo de los números complejos.4. Construye cuerpos a partir de un dominio de integridad.Problema 1. Considere el anillo de enteros de Gauss Z[i] = {a + bi / a, b ∈ Z}.a) Pruebe que Z[i] es un dominio de integridad.b) Pruebe que Q[i] = {a + bi / a, b ∈ Q} es el cuerpo de cuocientes de Z[i].5. Resuelve problemas relativos a extensiones algebraicas.Problema 1. Pruebe en detalle que Q( √ 3 + √ 7) = Q( √ 3, √ 7).Problema 2. Calcule el grado de la extensión Q(2 1 3 , 3 1 2 ) sobre Q.Problema 3. [24] Considere las extensiones Q(2 1 6 ) y Q(2 1 2 , 2 1 3 ) de los números racionales.a) Encuentre una base de Q(2 1 2 , 2 1 3 ) sobre Q.b) Pruebe que Q(2 1 2 , 2 1 3 ) = Q(2 1 6 ).6. Usa el Teorema de Caracterización de un n-ágono regular constructible con regla y compás.Problema 1. a)Justifique que un 30-ágono regular es constructible con regla y compás.b) Justifique que un 99-ágono regular es constructible con regla y compás.Problema 2. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, demostrando o dando un contraejemplo.a) El 15-ágono regular es constructible con regla y compás.b) Para un primo p, el p-ágono regular es constructible si sólo si p es un número de Fermat.7. Aplica extensiones algebraicas en la solución de problemas clásicos de la geometría Euclideana.Problema 1. Problema de la duplicación del cubo. Demuestre que no es posible construir con regla ycompás el lado de un cubo de volumen 2 cm 3 .Problema 2. Problema de la trisección de un ángulo. Pruebe que no es posible trisectar un ángulo quemida 40 ◦ .Problema 3. Encuentre el número natural n más pequeño de manera que el ángulo que mida n grados seaconstructible.84