Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El estudiante comprende la estructura de cuerpo. Conoce criterios para estudiar la irreducibilidadde polinomios. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal de un anillo y como cuociente de dominios deintegridad.En este nivel el estudiante resuelve problemas relativos a extensiones de cuerpos, algebraicas y trascendentales.Usa estas propiedades en la resolución de problemas clásicos como la duplicación del cubo, la cuadratura delcírculo y la trisección de un ángulo. Calcula cuerpos de descomposición de polinomios sobre los racionales ysobre cuerpos finitos. Aplica el Teorema de Galois al estudio de las estructuras de las extensiones finitas de cuerpos.Usa extensiones finitas, los Teoremas de Sylow y Teorema de Galois para probar el Teorema Fundamentaldel Algebra.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Usa el Criterio de irreducibilidad de Eisenstein.Problema 1. Pruebe que el polinomio h(x) = x 5 + 4x 4 − 6x 2 + 12x + 2 es irreducible en Q[x].2. Aplica la sustitución de x por x + a para probar la irreducibilidad de polinomios.Problema 1. Pruebe que el polinomio ciclotómico φ p (x) = xp − 1x − 1 = xp−1 + · · · + x + 1, es irreducibleen Q[x] para cualquier primo p.3. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal del anillo.Problema 1. Demuestre que Z 11 [x] / < x 2 + x + 4 > es un cuerpo.Problema 2. Considere el cuerpo F = R[x] / < x 2 + 3 > . Pruebe que todo elemento de F es de laforma (ax + b)+ < x 2 + 3 >, con a, b ∈ R, a ≠ 0.Problema 3. Considere el anillo cuociente A = R[x] / < x 2 + x + 1 > .a) Demuestre que A es un cuerpo.83