Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3c) Encuentre un ideal primo de R que no sea maximal.Problema 5. [24] Pruebe que {a + xq(x) / a ∈ 2Z, q(x) ∈ Z[x]} es un ideal en Z[x].12. Encuentra ideales primos y maximales.Problema 1. Encuentre todos los ideales primos y maximales del anillo R = Z 12 .Problema 2. Sea R anillo conmutativo e I ideal de R. Defina (R : I) = {a ∈ R / a n ∈ I para algún n ∈N } y pruebe que es un ideal de R. ¿Es un ideal primo?13. Conoce dominios de integridad y encuentra unidades.Problema 1. [24] Sea n ∈ N, tal que √ n /∈ N. Se define:Z[ √ n] = {a + b √ n / a, b ∈ Z} ⊆ R,Z[ √ −n] = {a + ib √ n / a, b ∈ Z} ⊆ C.a) Pruebe que Z[ √ n] y Z[ √ −n] son subanillos de R y de C respectivamente.b) ¿Son dominios de integridad?c) Se definen dos funciones N 1 : Z[ √ n] → Z y N 2 : Z[ √ −n] → N por N 1 (a + b √ n) = a 2 − nb 2 yN 2 (a + ib √ n) = a 2 + nb 2 , respectivamente. Pruebe que N i es multiplicativa para i = 1, 2.d) Encuentre las unidades de Z[ √ n] y de Z[ √ −n] respectivamente.14. Calcula anillos cuocientes y utiliza los Teoremas de Isomorfía para anillos.Problema 1. [24] Encuentre todos los ideales I de Z 12 . En cada caso encuentre Z 12 / I.Problema 2. Dé la tabla de suma y de multiplicación del anillo cuociente 2Z / 8Z. ¿Son 2Z / 8Z y Z 4anillos isomorfos?15. Comprende y usa el Teorema de Euler-Fermat.Problema 1. Resuelva la congruencia 5x ≡ 3(mod 24).Problema 2. [24] Use el pequeño Teorema de Fermat y que 383838 = 2 · 3 · 7 · 13 · 19 · 37 para probarque n 37 − n es divisible por 383838 para todo n ∈ N.Problema 3. Sean a, n ∈ N, tales que (a, n) = 1 y (a − 1, n) = 1. Pruebe que 1 + a + · · · + a ϕ(n)−1 ≡0 (mod n).81