Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

9. Usa acciones de grupos sobre conjuntos finitos.Problema 1. Demuestre que la acción natural de un grupo sobre las clases laterales de cualquiera de sussubgrupos es una acción transitiva.Problema 2. ¿Actúa transitivamente el grupo de las transformaciones lineales de un espacio vectorial dedimensión finita, sobre el conjunto de vectores?Problema 3. Demuestre que el grupo de las traslaciones de un espacio vectorial de dimensión finita actúatransitivamente sobre el conjunto de vectores.Problema 4. Sea G un subgrupo de permutaciones de un conjunto S. Demuestre que G actúa sobre elconjunto formado por los subconjuntos de S de cardinalidad 2.10. Utiliza los Teoremas de Sylow para probar propiedades de grupos finitos.Problema 1. [54]a) Demuestre que ningún grupo de orden 39 es simple.b) Demuestre que ningún grupo de orden 45 es simple.Problema 2. Encuentre todos los 3-Sylow de S 4 y pruebe que ellos son conjugados.Problema 3. Demuestre que un grupo diedral de orden 2 k n, con n número impar, contiene n subgruposde Sylow de orden 2 k .11. Conoce ejemplos de anillos, subanillos e ideales.Problema 1. Pruebe que el conjunto de los enteros provisto de las operaciones a ∗ b = a + b − 1 ya ◦ b = a + b − ab es un anillo. Con esta estructura de anillo ¿es 5Z un ideal de Z?Problema 2. Sea X un conjunto y (A, ⊕, ⊙) un anillo. Considere el conjunto A XA / f función}. Defina (f + g)(x) = f(x) ⊕ g(x); (fg)(x) = f(x) ⊙ g(x).= {f : X →a) Pruebe que A X con estas dos operaciones es un anillo.b) Pruebe que si A es conmutativo entonces A X es conmutativo.Problema 3. Considere el anillo C(R) de las funciones reales continuas. Demuestre que H = {f ∈C(R) / f(0) = 0} es un ideal de C(R).Problema 4. [24] Considere el anillo R = Z × Z.a) Encuentre un subanillo de R que no sea ideal de Z × Z.b) Encuentre un ideal maximal de R.80