EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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a) Calcule el orden de A y de B.b) Pruebe que el subgrupo generado por AB es un subgrupo cíclico infinito.c) ¿Es finito el orden del producto de dos elementos de orden finito?Problema 3. Sea G un grupo cíclico y H un subgrupo de G de índice m. Pruebe que el grupo cuocienteG/H es cíclico de orden m.3. Calcula el orden de un elementos de un grupo.Problema 1. Considere el grupo G 1 = U(Z) de las unidades de Z. Encuentre el orden de cada elementode G 1 × Z 8 .Problema 2. Calcule el orden de cada uno de los elementos del grupo A 4 × Z 8 .Problema 3. [24] Escriba la tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo formado por los elementosde Z 12 que son relativamente primos con 12. ¿Es éste un grupo cíclico?4. Conoce el grupo de Klein.Problema 1. Considere el conjunto K 4 , de las permutaciones de orden 2 de A 4 , es decir,K 4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.Pruebe que:a) K 4 es un subgrupo de A 4 .b) K 4 ≃ Z 2 × Z 2 .c) Z 2 × Z 2 no es isomorfo a Z 4 .d) Todo grupo de orden 4 es isomorfo a K 4 o a Z 4 .5. Demuestra propiedades de los grupos de permutaciones.Problema 1. Considere el grupo alternante A n , con n ≥ 3.a) Pruebe que está generado por ciclos de longitud 3.b) Pruebe que A n = < (123), (124), . . . , (12n) > .Problema 2. Sea G un subgrupo de S n , n ≥ 5, que contiene todos los ciclos de longitud 3. Demuestreque si H es un subgrupo normal de G tal que G/H es abeliano, entonces H contiene todos los ciclos delongitud 3.Problema 3. Sea σ ∈ S n y c = (i 1 , . . . , i k ) un ciclo de longitud k en S n . Pruebe que σ ◦ c ◦ σ −1 =(σ(i 1 ), . . . , σ(i k )), es decir, σ ◦ c ◦ σ −1 es un ciclo de longitud k de S n .78
Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3Problema 4. Pruebe que GL(2, Z 2 ) es isomorfo a S 3 .6. Prueba propiedades del grupo diedral D 2n y del grupo de cuaterniones Q 2n .Problema 1. Pruebe que los gruposson de orden 2n y no son abelianos para n > 2.D 2n = < a, b : a n = 1, b 2 = 1, ba = a n−1 b >,Q 2n = < a, b : a n = 1, b 2 = a 2 , ba = a n−1 b >Problema 2. Pruebe que D 6 = < a, b : a 3 = 1, b 2 = 1, ba = a 2 b > es isomorfo a S 3 .Problema 3. Escriba la tabla de multiplicación de D 8 y de Q 8 y encuentre el orden de cada uno de suselementos.Problema 4. Pruebe que el grupo Q 8 no es isomorfo al grupo D 8 .7. Encuentra grupos cuocientes y usa los Teoremas de Isomorfía para grupos.Problema 1. Considere los grupos aditivos infinitos Q y Z. Encuentre el grupo cuociente Q / Z.Problema 2. Considere el grupo multiplicativo C ∗ y sea U = {z ∈ C ∗ / |z| = 1} el círculo unitario.Pruebe que U ≃ R / nZ ∀ n ∈ N.Problema 3. Demuestre que C ∗ / R ∗ ≃ U / G, donde G = {1, −1}.⎛ ⎞1 a b⎜ ⎟Problema 4. Sea T el conjunto de matrices de la forma ⎝ 0 1 c ⎠ , donde a, b, c ∈ R.0 0 1Demuestre que Z(T ) ≃ R y que T / Z(T ) ≃ R × R, donde R es grupo bajo la suma.8. Caracteriza grupos construidos por productos directos y semi-directos.Problema 1. Sean G 1 , G 2 , G 3 grupos. ¿Es cierto que el producto directo de los tres grupos es abeliano siy sólo si cada G i , i = 1, 2, 3, es abeliano?Problema 2. Caracterice el grupo diedral D 2n como un producto semi-directo.Problema 3. Pruebe que todo grupo de orden 25 o es cíclico o es isomorfo a un producto directo de dosgrupos cíclicos de orden 5.Problema 4. Obtenga la descomposición en producto semi-directo del grupo de simetrías del cubo.79
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[56] Ross, Sheldon, Stochastic Proc
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