Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

a) Calcule el orden de A y de B.b) Pruebe que el subgrupo generado por AB es un subgrupo cíclico infinito.c) ¿Es finito el orden del producto de dos elementos de orden finito?Problema 3. Sea G un grupo cíclico y H un subgrupo de G de índice m. Pruebe que el grupo cuocienteG/H es cíclico de orden m.3. Calcula el orden de un elementos de un grupo.Problema 1. Considere el grupo G 1 = U(Z) de las unidades de Z. Encuentre el orden de cada elementode G 1 × Z 8 .Problema 2. Calcule el orden de cada uno de los elementos del grupo A 4 × Z 8 .Problema 3. [24] Escriba la tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo formado por los elementosde Z 12 que son relativamente primos con 12. ¿Es éste un grupo cíclico?4. Conoce el grupo de Klein.Problema 1. Considere el conjunto K 4 , de las permutaciones de orden 2 de A 4 , es decir,K 4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.Pruebe que:a) K 4 es un subgrupo de A 4 .b) K 4 ≃ Z 2 × Z 2 .c) Z 2 × Z 2 no es isomorfo a Z 4 .d) Todo grupo de orden 4 es isomorfo a K 4 o a Z 4 .5. Demuestra propiedades de los grupos de permutaciones.Problema 1. Considere el grupo alternante A n , con n ≥ 3.a) Pruebe que está generado por ciclos de longitud 3.b) Pruebe que A n = < (123), (124), . . . , (12n) > .Problema 2. Sea G un subgrupo de S n , n ≥ 5, que contiene todos los ciclos de longitud 3. Demuestreque si H es un subgrupo normal de G tal que G/H es abeliano, entonces H contiene todos los ciclos delongitud 3.Problema 3. Sea σ ∈ S n y c = (i 1 , . . . , i k ) un ciclo de longitud k en S n . Pruebe que σ ◦ c ◦ σ −1 =(σ(i 1 ), . . . , σ(i k )), es decir, σ ◦ c ◦ σ −1 es un ciclo de longitud k de S n .78