Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El estudiante demuestra propiedades de grupos. Usa el concepto de homomorfismo de grupos ylos teoremas fundamentales para estos homomorfismos. Identifica y trabaja con grupos dados por relaciones.Encuentra el grupo cuociente de un grupo por un subgrupo normal. Construye grupos vía productos directos ysemi-directos.El alumno usa acciones de grupos sobre conjuntos para demostrar los Teoremas de Sylow. Utiliza estos teoremaspara probar propiedades de grupos finitos.En este nivel el estudiante trabaja con la estructura de anillos y de ideales. Conoce el concepto de ideal primo eideal maximal. Usa los Teoremas de Isomorfía para anillos. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la resoluciónde congruencias y conoce su aplicación a la Criptografía.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Demuestra propiedades básicas de grupos.Problema 1. Sean S, T subgrupos de un grupo G, con S subgrupo normal. Pruebe que ST es un subgrupode G ¿Es ST un subgrupo normal de G?Problema 2. Sea H un subgrupo de índice 2 de un grupo finito G. Pruebe que para todo g ∈ G, gH =Hg.2. Demuestra propiedades de los grupos cíclicos.Problema 1. Demuestre que un grupo cíclico de orden n tiene uno y sólo un subgrupo de orden m paracualquier m divisor de n.Problema 2. Considere las siguientes matrices(A =0 1−1 0)y B =(−10 1−1),elementos del grupo SL(2, Z) :77