Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 25. Conoce el grupo afín, el grupo lineal de orden n y el grupo especial lineal de orden n.Problema 1. Considere el conjunto de funcionesA(R 2 ) = {φ a,⃗v : R 2 → R 2 , φ a,⃗v (⃗x) = a⃗x + ⃗v / a ∈ R − {0}, ⃗v ∈ R 2 }.Pruebe que A(R 2 ) es cerrado para la composición y que constituye un grupo con esta operación (grupoafín del plano).Problema 2. Sea T = Q, R o Z p y K = Z, Q, R o Z p , con p primo. Considere los conjuntos:GL(n, T ) = {A ∈ M n (T ) / det(A) ≠ 0},SL(n, K) = {A ∈ M n (K) / det(A) = 1},donde GL(n, T ) se conoce como grupo lineal de orden n y SL(n, K) como grupo especial lineal deorden n.a) Pruebe que GL(n, T ) y SL(n, K) son grupos bajo la multiplicación de matrices.b) Pruebe que GL(n, T ) no es abeliano para todo n ≥ 2.c) Encuentre la tabla de multiplicación del grupo GL(2, Z 2 ).( )a bd) Sea M el conjunto de matrices de la forma , donde a, b, c ∈ R, tales que ac ≠ 0. Pruebe0 cque M es un subgrupo de GL(2, R).e) SeaH ={(1 00 1),(1 00 −1),(−1 00 1),(−1 00 −1)}.Pruebe que H es subgrupo de GL(2, R).6. Conoce el grupo de simetrías de una figura plana.Problema 1. Sea T un triángulo equilátero. Determine todas las simetrías de T y represéntelas comopermutaciones de sus vértices. Compare el resultado con S 3 .Problema 2. Pruebe que el grupo S 4 es el grupo de simetrías de un tetraedro regular.Problema 3. Encuentre el grupo D 8 , de las simetrías de un cuadrado.Problema 4. ¿Cuál es el grupo de simetrías de un cubo?Problema 5. Sea P un pentágono regular. Determine todas las simetrías de P y represéntelas como permutacionesde los vértices.75