Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

2. Describe en forma algebraica las transformaciones geométricas del espacio.Problema 1. Pruebe queA =⎛⎜⎝2/3 −1/3 2/32/3 2/3 −1/3−1/3 2/3 2/3⎞⎟⎠es la matriz de rotación en 60 ◦ alrededor de la recta de ecuación x = y = z y centro el origen.Problema 2. a) Calcule las coordenadas en que se trasforman los vértices de un cubo definido por lospuntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotación anterior.b) Calcule las coordenadas en que se trasforma la pirámide de vértices (0, 0, 0) y base el triángulodefinido por los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotación anterior.3. Interpreta congruencias de figuras planas como composición de transformaciones geométricas elementales.Problema 1. Los triángulos de vértices (0, 0), (4, 0), (4, −2) y (−3, 0), (−5, 4), (−3, 4) son congruentes.Determine una secuencia de transformaciones geométricas elementales del plano que transforman untriángulo en el otro.4. Opera con el grupo de permutaciones de un conjunto finito.Problema 1. Considere la permutación de S 8 dada por(1 2 3 4 5 6 7 8σ =2 3 4 5 1 7 6 8).Escríbala como producto de ciclos disjuntos y luego como producto de transposiciones.Problema 2. Encuentre todos los subgrupos del grupo A 4 .Problema 3. Dadas las siguientes afirmaciones, demuéstrelas si son verdaderas o dé un contraejemplo sison falsas:a) La inversa de una permutación par es par.b) Para toda σ, π ∈ S n , (π ◦ σ) −1 = σ −1 ◦ π −1 .c) Para toda σ, π ∈ S n , |σ ◦ π| = |σ||π|, donde |σ| denota el orden de la permutación σ.d) Una permutación σ es una transposición si y sólo si σ ≠ 1 y σ = σ −1 .Problema 4. Sea π = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9, 10, 11)(12) ∈ S 12 . Determine el menor entero positivo ktal que π k = 1.74