EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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Problema 2. [3] Sea (x 0 , y 0 ) solución de la ecuación diofántica ax − by = 1. Pruebe que el área deltriángulo de vértices (x 0 , y 0 ), (b, a) y (0, 0) es igual a 1 2 .11. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros.Problema 1. ¿Tiene solución el siguiente sistema de congruencias x ≡ 5(mod 4) y x ≡ 7(mod 8)?Justifique.Problema 2. Determine un entero x que al ser dividido por 25 deja resto 10, al ser dividido por 12 dejaresto 5 y al ser dividido por 13 deja resto 6.12. Utiliza las propiedades algebraicas y la forma trigonométrica de los números complejos. Encuentraraíces de números complejos.Problema 1. Escriba la forma trigonométrica de los siguientes números complejos. Dibuje.a) z = 4(1 − √ 3i).b) z =(−1 − i)( √ 3 − i) .Problema 2. Utilize la fórmula de De Moivre para calcular la potencia indicada. Expresar el resultadocomo pares ordenados de números reales.a) 2( √ 3 + i) 7 .b)[cos( 5π4)+ i sen( 5π4)] 10.Problema 3. Calcule las raíces que se especifican, represéntelas en el plano complejo y exprese cada unade las raíces en forma cartesiana.a) Raíces cuartas de 16 [ cos ( ) (4π3 + i sen 4π)]3 .b) Raíces cúbicas de − 1252 (1 + √ 3i).Problema 4. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: x 4 − 81 = 0 y x 3 + 64i = 0.13. Usa la representación de los puntos del plano vía los números complejos. Relaciona el producto denúmeros complejos con rotaciones y homotecias.Problema 1. Describa geométricamente el efecto de multiplicar el complejo 2+5i por el complejo 1 2√3+12 i.Problema 2. Represente geométricamente el efecto de multiplicar los complejos 7 + i, 6 + 3i y 5 + 2ipor el complejo 3[cos(30 ◦ ) + i sen(30 ◦ )].70
Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 114. Conoce la evolución histórica de los números de Fermat y de los números de Mersene así como laconexión de estos últimos con los números perfectos.Problema 1. [4] Realice una investigación sobre la primalidad de los números de Fermat y de los númerosde Mersene. Investigue los aportes de Euler y de Euclides.15. Conoce la evolución histórica de la conjetura de Goldbach y la relaciona con la conjetura de Erdös.Problema 1. [3] [4] Realice una investigación sobre las conjeturas de Goldbach y de Erdös. ¿Cuáles fueronlas constribuciones de Vinogradov? ¿Qué relación existe entre la conjetura de Goldbach y la conjetura deErdös?71
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