Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1Problema 4. Si N = 2 n p es perfecto, con p primo, entonces pruebe que la suma de los divisores de N es(2 n+1 − 1)(p + 1). Es decir por cada número perfecto de la forma N = 2 n p hay un primo de Mersenep = 2 n+1 − 1.7. Demuestra propiedades de la función µ de Möbius y la relaciona con la función ϕ de Euler.Problema 1. [29]a) Demuestre que µ es multiplicativa, es decir, µ(nm) = µ(n)µ(m) ∀ n, m ∈ N.b) Demuestre que para todo n ≥ 2, se tiene ∑ d/nµ(d) = 0.Problema 2. Pruebe que para todo n ≥ 1, se tiene ϕ(n) = ∑ d/n µ(d) n d .Problema 3. Fórmula de inversión de Möbius. [29] Sean f y g funciones de números naturales tales queg(n) = ∑ d/n f(d). Pruebe que f(n) = ∑ d/n µ( n d )g(d).8. Opera con los números enteros módulo n.Problema 1. Si hoy día es Martes 7 de Abril, ¿qué día de la semana será en 100 días más?Problema 2. En Z 11 , pruebe que para todo [x] ≠ [0] existe [y] ≠ [0] tal que [x][y] = [1].Problema 3. a) Encuentre todos los divisores de cero en Z 12 .b) Resuelva la ecuación x 2 − 5x + 6 = 0 en Z 12 .Problema 4. Pruebe que el número de elementos de Zn ∗ es igual a ϕ(n).9. Demuestra y usa criterios de irreducibilidad de polinomios en Q[x] y en Z p [x], con p primo.Problema 1. Sea F = Q o Z p . Demuestre que un polinomio de grado 2 o 3 con coeficientes en F esreducible si y sólo si tiene una raíz en F.Problema 2. Pruebe que x 3 + 3x + 2 es irreducible en Z 5 [x].Problema 3. Sea p(x) = a n x n +· · ·+a 0 un polinomio con coeficientes enteros tal que a n ≠ 0. Demuestreque las raíces racionales de p(x) son de la forma r = m q , donde m es un divisor de a 0 y q es un divisor dea n .Problema 4. Encuentre las raíces racionales, si las hay, de x 4 + x 3 + 2x − 11.10. Resuelve ecuaciones diofánticas lineales.Problema 1. a) ¿Tiene solución la ecuación diofántica 15x + 27y = 1?b) Resuelva la ecuación diofántica 2x + 3y = 17.69