Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Problema 2. Exprese el máximo común divisor entre los números 224711 y 3266 en la forma 224711x +3266y.Problema 3. Demuestre que (n, n + 1) = 1, para todo número natural n.Problema 4. Sean a, b, c números naturales. Si c es un divisor de ab y (c, a) = 1, pruebe que c es undivisor de b.4. Utiliza el algoritmo de Euclides para dividir polinomios.Problema 1. Encuentre el cuociente y el resto obtenidos al dividir los polinomios p(x) = x 5 + 3x 4 −12 x3 + 8x − 122 y h(x) = 3x 3 − 5x 2 + 34.Problema 2. Encuentre el valor de m para que el polinomio 2x 4 + 9x 3 + 2x 2 − 6x + 3m tenga resto 12al dividirlo por x + 12.Problema 3. Determine un máximo común divisor en Q[x] entre los polinomios p(x) = x 2 − 2x +1, h(x) = x 2 + x − 2 y f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 3x − 2.5. Demuestra propiedades de los números primos, de los números de Fermat F n = 2 2n + 1 y de losnúmeros de Mersene M p = 2 p − 1, con p primo.Problema 1. Demuestre que todo número primo impar es de la forma 4k − 1 o 4k + 1.Problema 2. Sea p un número primo. Demuestre que los números p, p + 2 y p + 4 no pueden ser todosprimos.Problema 3. [29] Pruebe que dos números de Fermat no tienen un máximo común divisor mayor que 1.Problema 4. [29]a) Si a ≥ 2 y si a n + 1 es primo, entonces a es impar y n = 2 m .b) Si n > 1 y si a n − 1 es primo, entonces a = 2 y n es primo.6. Demuestra propiedades de la función ϕ de Euler y de los números perfectos.Problema 1. [29] Demuestre que para todo n ≥ 1, se cumple que ∑ d/nϕ(d) = n.Problema 2. [4]a) Sean n = p α11 · · · pα kk, descomposición de n en factores primos distintos. Pruebe que ϕ(n) = n(1 −1p 1) · · · (1 − 1p k).b) Pruebe que ϕ(n) > n 6para todo n número natural con a lo más 8 factores primos distintos.Problema 3. Sea a entero positivo. Pruebe que si 2 a − 1 es primo entonces 2 a−1 (2 a − 1) es perfecto. Conesto se prueba que a todo primo de Mersene le corresponde un número perfecto.68