Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 47. Conoce el Lema de Zorn y sabe que es equivalente al axioma de Elección. Demuestra teoremas comoconsecuencias del Lema de Zorn.Problema 1. Sea X subespacio vectorial del espacio vectorial V . Demuestre que existe un subespaciocomplementario de X.Problema 2. Demuestre que en un anillo conmutativo con unidad, todo ideal está contenido en un idealmaximal.8. Comprende las cortaduras de Dedekind y demuestra propiedades de los números reales definidosde esta manera.Problema 1. [67] Sea (L, U) un número real (es decir una cortadura de Dedekind). Demuestre que:a) Si α ∈ L y β ∈ U, entonces α < β.b) Si α 1 ∈ L y α 2 < α 1 , entonces α 2 ∈ L.c) Si β 1 ∈ U y β 1 < β 2 , entonces β 2 ∈ U.d) Si α 1 ∈ L, entonces existe algún α 2 ∈ L tal que α 1 < α 2 .Problema 2. [67] Demuestre la propiedad Arquimediana:Para todo par de números reales positivos (L 1 , U 1 ), (L 2 , U 2 ) tales que (L 1 , U 1 ) < (L 2 , U 2 ) existe unnatural N tal queN(L 1 , U 1 ) > (L 2 , U 2 ).Aquí N en sí mismo es considerado una cortadura de Dedekind, con la inclusión canónica.Problema 3. Usando cortaduras de Dedekind demuestre que existe un número real x tal que x 3 = 2.Problema 4. En la construcción de Dedekind ¿qué axiomas de la Teoría de Conjuntos se requieren paragarantizar la existencia de los números reales?9. Averigua sobre las contribuciones de David Hilbert a la Matemática y sus fundamentos.Problema 1. a) Averigüe sobre las investigaciones de Hilbert en geometría. ¿Qué importancia tienenen el desarrollo de los fundamentos de la Matemática?b) ¿Cómo se distingue el enfoque de Hilbert con el enfoque constructivista?Problema 2. Averigüe sobre la presentación de Hilbert en Paris el año 1900. ¿Existe algo parecido para elaño 2000?55