EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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3. Comprende los elementos básicos de una teoría axiomática. Entiende la necesidad de una TeoríaAxiomática de Conjuntos.Problema 1. [8] Desde el punto de vista de la teoría axiomática moderna ¿Cuál es la crítica que se le hacea los Postulados de Euclides? ¿Constituyen un ejemplo de sistema axiomático?Problema 2. [8] Explique los conceptos de: sistema axiomático consistente, axioma independiente y sistemaaxiomático completo. Dé ejemplos.4. Comprende la Paradoja de Russell y la forma de evitarla.Problema 1. a) Muy conocida es la historia del barbero: “En Sevilla hay un barbero que afeita a todoslos hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos”. ¿Quién afeita al barbero?b) Relacione esta paradoja con la paradoja de Russell: Se dice que el conjunto X es ordinario si X ∉ X.Sea A el conjunto de todos los conjuntos ordinarios. ¿Es A ordinario?c) Explique cómo se resuelve esta paradoja.5. Conoce los axiomas de la Teoría de Conjuntos.Problema 1. [67] En la teoría axiomática de conjuntos:a) ¿Qué axioma garantiza que existe al menos un conjunto?b) ¿Qué axioma garantiza que existe un conjunto infinito?c) ¿Qué axioma garantiza que existen conjuntos no enumerables?6. Comprende la construcción de los naturales a partir de los axiomas de la Teoría de Conjuntos.Conoce los Axiomas de Peano.Problema 1. [67] Demuestre las siguientes propiedades de los números naturales:a) Todo número natural es un conjunto ordinario.b) N no es un número natural.c) N es un conjunto ordinario.d) Si n y m son números naturales entonces n ∉ m o m ∉ n.(El Axioma de Infinito dice “Existe un conjunto, denotado por N, que tiene a todos los números naturalescomo sus elementos”).54
Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 47. Conoce el Lema de Zorn y sabe que es equivalente al axioma de Elección. Demuestra teoremas comoconsecuencias del Lema de Zorn.Problema 1. Sea X subespacio vectorial del espacio vectorial V . Demuestre que existe un subespaciocomplementario de X.Problema 2. Demuestre que en un anillo conmutativo con unidad, todo ideal está contenido en un idealmaximal.8. Comprende las cortaduras de Dedekind y demuestra propiedades de los números reales definidosde esta manera.Problema 1. [67] Sea (L, U) un número real (es decir una cortadura de Dedekind). Demuestre que:a) Si α ∈ L y β ∈ U, entonces α < β.b) Si α 1 ∈ L y α 2 < α 1 , entonces α 2 ∈ L.c) Si β 1 ∈ U y β 1 < β 2 , entonces β 2 ∈ U.d) Si α 1 ∈ L, entonces existe algún α 2 ∈ L tal que α 1 < α 2 .Problema 2. [67] Demuestre la propiedad Arquimediana:Para todo par de números reales positivos (L 1 , U 1 ), (L 2 , U 2 ) tales que (L 1 , U 1 ) < (L 2 , U 2 ) existe unnatural N tal queN(L 1 , U 1 ) > (L 2 , U 2 ).Aquí N en sí mismo es considerado una cortadura de Dedekind, con la inclusión canónica.Problema 3. Usando cortaduras de Dedekind demuestre que existe un número real x tal que x 3 = 2.Problema 4. En la construcción de Dedekind ¿qué axiomas de la Teoría de Conjuntos se requieren paragarantizar la existencia de los números reales?9. Averigua sobre las contribuciones de David Hilbert a la Matemática y sus fundamentos.Problema 1. a) Averigüe sobre las investigaciones de Hilbert en geometría. ¿Qué importancia tienenen el desarrollo de los fundamentos de la Matemática?b) ¿Cómo se distingue el enfoque de Hilbert con el enfoque constructivista?Problema 2. Averigüe sobre la presentación de Hilbert en Paris el año 1900. ¿Existe algo parecido para elaño 2000?55
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