Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El alumno formaliza el Método Axiomático como método para construir la Matemática. Reconoceel Método Axiomático en geometría. Conoce los elementos básicos de la Teoría de Conjuntos siguiendo laaxiomática de Zermelo, en particular conoce el significado del Axioma de Elección y algunas de sus consecuenciasvistosas como que ‘todo espacio vectorial posee una base’. El alumno conoce la paradoja de Russell.El alumno comprende la construcción del conjunto de los números naturales a partir de la Teoría de Conjuntos. Ya partir de aquí la construcción de los números reales usando las Cortaduras de Dedekind, como una alternativaa la construcción axiomática basada en el Axioma del Supremo.El alumno critica el método axiomático y conoce el enfoque del método constructivista como una alternativapara la fundamentación y construcción de la Matemática.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Conoce los postulados de Euclides para la geometría. Entiende la importancia del 5 ◦ Postulado,tanto desde el punto de vista de la geometría como de la Matemática, y conoce formas equivalentesde formularlo.Problema 1. a) En su afán por demostrar el 5 ◦ postulado de Euclides en términos de los otros cuatro,numerosos matemáticos encontraron formulaciones equivalentes. Indique al menos dos de ellas.b) ¿Porqué era importante saber si el 5 ◦ postulado era consecuencia de los otros postulados? ¿Qué consecuenciatuvo finalmente este esfuerzo para la humanidad?c) Investigue sobre los primeros matemáticos que concibieron geometrías no-euclideanas.2. Conoce una Teoría Axiomática para las geometrías euclideana plana, hiperbólica y esférica.Problema 1. [8] Realice una investigación bibliográfica sobre la formulación axiomática de la geometríaeuclideana plana en el contexto de espacios métricos completos. Haga lo mismo para la geometría hiperbólicay la esférica. ¿Cuáles axiomas son comunes? ¿Cuáles axiomas distinguen las tres geometrías?53