Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 3a) Los números racionales.b) Los números irracionales.c) Los números algebraicos.d) Los números trascendentales.6. Demuestra propiedades que involucran conceptos de topología en R: conjunto abierto, conjuntocerrado, interior de un conjunto, adherencia de un conjunto, frontera de un conjunto.Problema 1. a) Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que un conjunto sea cerradoes que contenga a todos sus puntos frontera.b) Use lo anterior para dar una caracterización de conjunto abierto en términos de sus puntos frontera.Problema 2. Si int(A) denota el interior del conjunto A ⊂ R. Demuestre quea) int(int(A)) = int(A).b) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B)c) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B) y mediante un ejemplo demuestre que la inclusión contraria no esválida.7. Caracteriza nociones topológicas usando sucesiones.Problema 1. Sea F un conjunto de números reales. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes:a) F es un subconjunto cerrado de R.b) Si {x n } es cualquier sucesión convergente de números reales, cuyos elementos pertenecen a F ,entonces lím x n ∈ F .Problema 2. Sea A un subconjunto de R. Demuestre que x es un punto frontera de A si y sólo si existensucesiones de números reales {x n } ⊂ A e {y n } ⊂ A c tales que lím x n = lím y n = x.8. Conoce y aplica el Teorema de Bolzano-Weierstrass.Problema 1. Sea {x n } una sucesión acotada de números reales. Suponga que existe x ∈ R con la siguientepropiedad: Toda subsucesión de {x n } tiene una subsucesión que converge a x. Demuestre que {x n }converge a x.Problema 2. Considere una sucesión de intervalos reales I n con la propiedad I n ⊂ I n−1 para todo n. Sedice que estos intervalos están encajonados.a) Muestre que existen intervalos cerrados encajonados I n tales que ∩ ∞ n=1I n = ∅.51