Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM
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Matemática .:. Fundam<strong>en</strong>tos y algoritmos .:. Nivel 3a) Los números racionales.b) Los números irracionales.c) Los números algebraicos.d) Los números trasc<strong>en</strong>d<strong>en</strong>tales.6. Demuestra propieda<strong>de</strong>s que involucran conceptos <strong>de</strong> topología <strong>en</strong> R: conjunto abierto, conjuntocerrado, interior <strong>de</strong> un conjunto, adher<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> un conjunto, frontera <strong>de</strong> un conjunto.Problema 1. a) Demuestre que una condición necesaria y sufici<strong>en</strong>te <strong>para</strong> que un conjunto sea cerradoes que cont<strong>en</strong>ga a todos sus puntos frontera.b) Use lo anterior <strong>para</strong> dar una caracterización <strong>de</strong> conjunto abierto <strong>en</strong> términos <strong>de</strong> sus puntos frontera.Problema 2. Si int(A) d<strong>en</strong>ota el interior <strong>de</strong>l conjunto A ⊂ R. Demuestre quea) int(int(A)) = int(A).b) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B)c) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B) y mediante un ejemplo <strong>de</strong>muestre que <strong>la</strong> inclusión contraria no esválida.7. Caracteriza nociones topológicas usando sucesiones.Problema 1. Sea F un conjunto <strong>de</strong> números reales. Demuestre que <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes proposiciones son equival<strong>en</strong>tes:a) F es un subconjunto cerrado <strong>de</strong> R.b) Si {x n } es cualquier sucesión converg<strong>en</strong>te <strong>de</strong> números reales, cuyos elem<strong>en</strong>tos pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> a F ,<strong>en</strong>tonces lím x n ∈ F .Problema 2. Sea A un subconjunto <strong>de</strong> R. Demuestre que x es un punto frontera <strong>de</strong> A si y sólo si exist<strong>en</strong>sucesiones <strong>de</strong> números reales {x n } ⊂ A e {y n } ⊂ A c tales que lím x n = lím y n = x.8. Conoce y aplica el Teorema <strong>de</strong> Bolzano-Weierstrass.Problema 1. Sea {x n } una sucesión acotada <strong>de</strong> números reales. Suponga que existe x ∈ R con <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>tepropiedad: Toda subsucesión <strong>de</strong> {x n } ti<strong>en</strong>e una subsucesión que converge a x. Demuestre que {x n }converge a x.Problema 2. Consi<strong>de</strong>re una sucesión <strong>de</strong> intervalos reales I n con <strong>la</strong> propiedad I n ⊂ I n−1 <strong>para</strong> todo n. Sedice que estos intervalos están <strong>en</strong>cajonados.a) Muestre que exist<strong>en</strong> intervalos cerrados <strong>en</strong>cajonados I n tales que ∩ ∞ n=1I n = ∅.51