Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Problema 2. Sea f : R → R. ¿Cuál es la cardinalidad del gráfico de f, es decir del conjunto de puntos dela forma {(x, f(x)) ∈ R 2 / x ∈ R}?Problema 3. ¿Cuál es la cardinalidad de la esfera en R N ? Demuestre su afirmación.Problema 4. Indique la cardinalidad del conjunto de las partes de N y del conjunto de las partes finitas deN. Demuestre sus respuestas.Problema 5. a) Defina, a través de fórmulas explícitas, tres funciones f : N → N tales que f(1) = 1,f(2) = 2 y f(3) = 3.b) ¿Cuántas sucesiones {x n } de números naturales tales que x 1 = 1, x 2 = 2 y x 3 = 3 existen?3. Usa los axiomas de Cuerpo y de Orden para deducir propiedades de los números reales.Problema 1. En la formulación axiomática de los números reales el conjunto R, al igual que la suma y lamultiplicación, es un término técnico no definido.a) ¿Cómo se asegura que R es no vacío?b) ¿Cómo se asegura que los números naturales están contenidos en R?c) ¿Cómo se asegura que los números racionales están contenidos en R?Problema 2. Usando solamente los axiomas de cuerpo demuestre que:a) ∀a ∈ R a · 0 = 0.b) ∀a, b ∈ R a · b = (−a) · (−b).c) Si a ∈ R satisface a · a = a entonces a = 0 o a = 1.Problema 3. Usando solamente los axiomas de cuerpo y de orden demuestre que:a) Si a ∈ R, a ≠ 0 entonces a 2 > 0.b) 1 > 0.4. Demuestra propiedades del supremo e ínfimo de un conjunto de números reales.Problema 1. Demuestre que si A y B son subconjuntos acotados de R entonces A∪B es también acotadoy que sup(A ∪ B) = sup{sup A, sup B}.5. Usa el Axioma del Supremo para deducir propiedades de los números.Problema 1. Demuestre la Propiedad Arquimediana a partir del axioma del supremo.Problema 2. Usando el Axioma del Supremo demuestre que existe un número real x tal que x 3 = 2.Problema 3. Demuestre que los siguientes conjuntos son densos en R:50