Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. Comprende el concepto de cardinalidad de un conjunto y entiende el significado de conjunto enumerable.El alumno es capaz de determinar la cardinalidad de un conjunto, usando las propiedades básicas. Entiendeel rol histórico que el concepto de infinito ha jugado en el desarrollo de la Matemática.El alumno utiliza los axiomas de cuerpo y de orden para construir los números reales. Usa el axioma del supremopara demostrar la existencia de números irracionales, como √ 2 y para introducir la noción de completitudde los números reales de manera rigurosa. El alumno comprende las nociones topológicas elementales de conjuntoabierto, cerrado, de puntos de acumulación. En particular el alumno demuestra el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Comprende la noción de conjunto compacto y reconoce el conjunto de Cantor como uno de ellos.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Es capaz de demostrar que un conjunto es enumerable.Problema 1. Demuestre que el conjunto L = {(x, y) ∈ R 2 / x, y ∈ Z} es enumerable.Problema 2. Se dice que un número es algebraico si es solución de una ecuación polinomial de la forman∑a i x i = 0,i=0donde n ∈ N y a i ∈ Q. Demuestre que el conjunto de todos los números algebraicos es enumerable.2. Determina la cardinalidad de conjuntos de cardinalidad ℵ o y c.Problema 1. Indique qué cardinalidad tienen los siguientes conjuntos:a) [0, 1] × [0, 1].b) El conjunto de números trascendentales.c) El conjunto de los números algebraicos que además son irracionales.49