EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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2. Analiza el comportamiento de largo plazo de un sistema discreto unidimensional.Problema 1. Considere los siguientes tres modelos que describen el comportamiento de una población:Modelo de Malthus: x k+1 = x k + d x k .Modelo de Velhurst: x k+1 = x k + d x k (1 − x k ).Modelo logístico de May: x k+1 = c x k (1 − x k ).Discuta el significado de los diferentes términos de los modelos. En particular interprete los parámetros cy d.Problema 2. En el caso del modelo logístico y para los valores de c = 1, 5; c = 2, 5 y c = 3, 5 encuentrelos puntos de equilibrio del sistema y analice su estabilidad. Haga el gráfico de iteraciones en cada caso.Problema 3. Para el modelo logístico considere c > 1. Encuentre los puntos de período dos y determinesu estabilidad (analice en términos de los distintos valores del parámetro c).3. Conoce los elementos de un sistema caótico en relación al sistema logístico.Problema 1. Explique, en el contexto del modelo logístico, el significado de:a) Sensibilidad en los datos iniciales.b) Densidad de orbitas periódicas.4. Diseña algoritmos para resolver problemas.Problema 1. a)Diseñe un algoritmo para determinar si un número natural dado es primo.b) Diseñe un algoritmo para determinar un primo mayor que un natural dado.Problema 2. Diseñe un algoritmo que tome como entrada una lista de n palabras y entregue como resultado:a) La lista en orden inverso.b) La lista ordenada alfabéticamente.Problema 3. Diseñe un algoritmo para multiplicar dos enteros.Problema 4. Diseñe un algoritmo que a partir de la matriz de incidencia de un grafo determine si el grafoes conexo.5. Diseña y analiza algoritmos recursivos.Problema 1. Describa el problema de las torres de Hanoi y un algoritmo recursivo para resolverlo. Determineel número de operaciones necesarias.44
Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 2Problema 2. Construya un algoritmo recursivo para evaluar un polinomio de grado nn∑p(t) = c i t i ,i=0en t = t 0 . Sea b n el número de multiplicaciones requerido para calcular p(t 0 ). Encuentre una relación derecurrencia para determinar b n y resuélvala.Construya un segundo algoritmo que evalúe directamente el polinomio p en t 0 multiplicando t 0 i vecespara calcular t i 0. Determine el número de multiplicaciones para calcular p(t 0 ). ¿Cuál algoritmo es másconveniente?Problema 3. Construya un algoritmo recursivo para encontrar un cierto valor en una lista ordenada. Losdatos del problema son: una lista s 1 , s 2 , . . . , s n ordenada y un valor ‘clave’. La salida del algoritmo es:el subíndice de ‘clave’, si ‘clave’ está en la lista,N si ‘clave’ no está en la lista.Determine el número de veces que su algoritmo es requerido para resolver el problema en el peor de loscasos.6. Conoce problemas paradigmáticos de la Teoría de Grafos.Problema 1. a)Describa el problema de los Puentes de Königsberg.b) Indique cuál es la solución dada por Euler al problema de los Puentes de Königsberg.c) Verifique si el grafo de la figura tiene un ciclo Euleriano.Problema 2. a)Explique la relación entre el Problema de los Cuatro Colores y la Teoría de Grafos.b) Cada semestre la Facultad dedica dos semanas a los exámenes de los alumnos. Estos exámenes tienenuna duración de dos horas y su programación debe ser tal que un alumno no tenga dos exámenes a lamisma hora. Modele este problema como uno de colorear un grafo. ¿Es deseable que el número decolores sea mínimo?45
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