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) F sea una función inyectiva en [−1, 1] × [−1, 1]?c) F sea una función sobreyectiva en [−1, 1] × [−1, 1]?13. Aplica el Principio de Inducción Matemática para demostrar propiedades que involucran númerosnaturales.Problema 1. [57] Un grupo de personas hacen cola a la entrada de un cine. La primera persona en la colaes una mujer y la última es un hombre. Demuestre que en algún lugar de la cola hay un hombre junto auna mujer.Problema 2. Demuestre que para todo n ∈ N, (1 + √ 2) n + (1 − √ 2) n es un número natural.Problema 3. [36] Teniendo en cuenta la serie telescópica intuya una fórmula paray demuéstrela.( ) ( ) ()1 24 + 8 + · · · + 2 n+1 n2 · 3 3 · 4(n + 1) · (n + 2)Problema 4. [33] Considere un ‘tablero de ajedrez’ con 2 n × 2 n cuadrados en el cual se ha sacado uncuadrado. Demuestre que este tablero puede ser cubierto de manera exacta por triminoes de la forma14. Aplica el Principio de Inducción Fuerte.Problema 1. Los números de Fibonacci satisfacen la relación de recurrenciaF n+1 = F n−1 + F n , con F 1 = F 0 = 1.a) Demuestre que para todo n ∈ N se tienen∑F i = F n+2 − 1.i=0b) Demuestre que para todo n ∈ N se tiene(n∑j=0n − jj)= F n .40
Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 115. Aplica el Teorema del Binomio de Newton.Problema 1. Evalúe la siguiente expresión(n∑(−1) kk=0nk).Problema 2. Demuestre que(n∑n(1 + x) n−1 =k=1nk)kx k−1 .16. Realiza una investigación histórica sobre el origen de la Teoría de Conjuntos.Problema 1. La Teoría de Conjuntos provee a la Matemática de un lenguaje que hoy nos parece muynatural. Esta teoría es reciente, si consideramos toda la historia de la Matemática. Averigüe cuándo apareceesta teoría por primera vez, quién fué su inventor y qué problemas estaba estudiando cuándo la creó.41
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