Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 19. Encuentra las clases de una relación de equivalencia.Problema 1. [36] Sean R 1 y R 2 relaciones de equivalencia en X.a) Muestre que R 1 ∩ R 2 es una relación de equivalencia en X.b) Describa las clases de equivalencia de R 1 ∩ R 2 en términos de las clases de equivalencia de R 1 y deR 2 .Problema 2. [36] Sea f : X → Y una función epiyectiva y S = {f −1 ({y}) / y ∈ Y }. Muestre que S esuna partición de X. Defina una relación de equivalencia que tenga a S como su conjunto cuociente.10. Representa relaciones entre conjuntos finitos usando matrices.Problema 1. Considere una relación en el conjunto {w, x, y, z} cuya matriz asociada esw x y z⎛⎞w 1 0 1 0x 0 0 0 0y⎜⎝ 1 0 1 0⎟⎠z 0 0 0 1Determine si esta relación es simétrica, refleja y/o transitiva.Problema 2. Dada la matriz asociada a una relación de equivalencia ¿Cómo puede determinar fácilmentela clase de equivalencia de un elemento x?11. Demuestra propiedades de conjuntos y funciones.Problema 1. Sea f : X → Y . Demuestre que f es inyectiva si y sólo si f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) paratodo A, B ⊂ X.Problema 2. Sea f : X → Y una función.a) Si f no es sobreyectiva, se puede modificar el conjunto de llegada Y para definir una nueva funciónque sí es sobreyectiva. Indique cómo hacerlo.b) Si f no es inyectiva, se puede modificar el conjunto de partida para definir una nueva función quesí es inyectiva. Indique cómo hacerlo.12. Estudia funciones en situaciones específicas.Problema 1. Considere la relación en [−1, 1] × [−1, 1] dada por C = {(x, y) ∈ R 2 / x 2 + y 2 = 1}. ¿Esposible encontrar F ⊂ C de modo quea) F sea una función par?39