Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Demuestre que E 1 = E 2 = E 3 . En la definición de E 1 d(P, Q) representa la distancia entre los puntos Py Q.Problema 3. (*) Dados vectores p, q ∈ R 3 , compruebe la equivalencia de los siguientes enunciados:a) p y q son linealmente independientes.p · p p · qb)∣ q · p q · q ∣ ≠ 0.( )c) La matrizpq, cuyas filas son p y q, tiene rango mayor o igual a dos.Problema 4. (*) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea L ⊂ V no vacío. Demuestre que lassiguientes condiciones son equivalentes:a) L es subespacio vectorial de V (espacio vectorial con las leyes de composición internas y externasde V).b) Para todo u, v ∈ L, α, β ∈ K ⇒ α · u + β · v ∈ L.c) Para todo u, v ∈ L ⇒ u + v ∈ L y para todo u ∈ L, α ∈ K ⇒ α · u ∈ L.7. Determina el valor de verdad de proposiciones que involucran conjuntos y demuestra propiedades.Problema 1. [36] En cada una de las siguientes afirmaciones demuestre si es verdadera u obtenga uncontraejemplo si es falsa:a) (X \ Y ) ∩ (Y \ X) = ∅ para todo conjunto X e Y .b) X ∩ (Y × Z) = (X ∩ Y ) × (X ∩ Z) para todo conjunto X, Y y Z.Problema 2. [36] Demuestre que si X 1 , ..., X n y X son conjuntos entoncesn⋃ n⋃X ∩ X i = (X ∩ X i ).i=1 i=18. Conoce ejemplos de relaciones de orden y de equivalencia. En casos concretos determina si unarelación es de orden o de equivalencia.Problema 1. [12] Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia o de orden. Demuestre susafirmaciones:a) A ∼ B si y sólo si A ⊂ B.b) A ∼ B si y sólo si existe una biyección entre A y B.38