EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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Problema 2. Demuestre que los circuitos de la figura son equivalentes.3. Comprende el significado de los cuantificadores lógicos determinando el valor de verdad de proposicionesque los contengan. Realiza operaciones de negación con ellos.Problema 1. a)Determine el valor de verdad de la siguiente expresión, donde las variables son númerosreales: ∀y ∃x tal que x 2 + y 2 ≥ 9.b) Obtenga la negación de la proposición en a).Problema 2. (*) 1 La definición de límite de una función real de variable real en un punto es:f tiene límite l en a si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ R, si 0 0” por una condición más débil: “∀ε ∈ (0, 1)”?¿Por qué?c) Para la función f : R → R definida por f(x) = x 2 , el siguiente argumento demuestra que el límitede f en 0 es 0: Dado 0 < ε < 1 se considera δ = ε y se tiene que |x| < δ = ε ⇒ x 2 < ε 2 < ε.Si se toma ahora x ∈ R con |x| ≥ δ = ε ¿se tiene |f(x)| ≥ ε? ¿Existe alguna elección de δ enfunción de ε tal que si |x| ≥ δ ⇒ |f(x)| ≥ ε?d) Para una función f cualquiera, si l es el límite de f en a ¿Es posible elegir un δ en función de ε talque |x − a| ≥ δ ⇒ |f(x) − l| ≥ ε?4. Demuestra teoremas simples usando un argumento por contradicción.Problema 1. Considere la siguiente proposición: Para todo par de números reales x e y se tiene quex + y ≥ 2 implica que x ≥ 1 o y ≥ 1, que se puede escribir como: ∀x, y ∈ R P .a) Escriba la proposición P usando conectivos lógicos.b) Escriba la recíproca y la contrarrecíproca de P .1 En los siguientes tres indicadores, los problemas que se marcan con (*) son ejemplos del indicador correspondiente, pero el contenidoestá presente en otro Eje o Nivel. Los hemos dejado en este lugar para enfatizar la necesidad que el alumno domine el aspecto lógico deéstos.36
Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1c) Muestre que la recíproca de P es falsa.d) Muestre que la contrarrecíproca de P es verdadera.e) ¿Qué puede concluir acerca del valor de verdad de P ?Problema 2. [33] Demuestre por contradicción la siguiente proposición: Los 123 residentes de un edificiotienen edades que suman 3813 años. Entonces existen 100 de ellos, cuyas edades suman al menos 3100.Problema 3. (*) Demuestre, por contradicción, que la cantidad de números primos es infinita (Euclides).Problema 4. (*) Demuestre, por contradicción, que √ 2 no puede ser un número racional.5. Utiliza contraejemplos para probar la falsedad de una afirmación.Problema 1. Demuestre que la siguiente afirmación no es cierta: Si dos esferas se intersectan en más deun punto, la intersección es una circunferencia.Problema 2. (*) Demuestre que la siguiente afirmación es falsa: Para toda sucesión {X n } que converge acero en R, la sucesión de sumas parciales S n = X 1 + X 2 + ... + X n es convergente.6. Demuestra equivalencias lógicas.Problema 1. (*) Demuestre que una función lineal f es inyectiva si y sólo si Ker(f) = {0}.Problema 2. (*) Fijados los puntos F 1 = (−c, 0) y F 2 = (c, 0) con c > 0 y constantes A > 2c, a = A 2 sedefinen los conjuntos:E 1 = {(x, y) ∈ R 2 / d((x, y), F 1 ) + d((x, y), F 2 ) = A},E 2 =}{(x, y) ∈ R 2 / x2a 2 +y2a 2 − c 2 = 1 ,E 3 = {(x, y) ∈ R 2 / √ (x + c) 2 + y 2 + √ (x − c) 2 + y 2 = 2a}.37
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