EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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8. Calcula el número de visitas promedio a un estado.Problema 1. [19] Suponga que los puntos {1, 2, 3, 4} están marcados en un círculo y que una partícula semueve en el sentido horario con probabilidad p y en el sentido anti-horario con probabilidad 1 − p. SeaX n la posición de la partícula en el tiempo n. Encuentre:a) La matriz de transición.b) El número de visitas promedio a cada estado.9. Conoce ejemplos de cadenas de Markov infinitas. Calcula distribuciones estacionarias en casos simples.Problema 1. [19] Una partícula se mueve en {0, 1, 2, . . .} de acuerdo a las siguientes reglas. Si está eni ≥ 1 se mueve a i + 1 con probabilidad p y a i − 1 con probabilidad 1 − p. Si está en 0, se mueve a 1 conprobabilidad p y se queda en 0 con probabilidad 1 − p. Demuestre que esta cadena admite una distribuciónestacionaria si y sólo si p < 1/2.10. Se familiariza con los procesos de Poisson.Problema 1. Las ampolletas producidas en una planta tienen una vida media de 2 meses. Suponga que cadavez que se quema una ampolleta ésta se reemplaza y el número de ampolletas reemplazadas constituye unproceso de Poisson.a) Calcule la esperanza y varianza del número de ampolletas reemplazadas por año.b) Suponga que al primero de Noviembre en un año determinado se han cambiado más de 10 ampolletas.Calcule la probabilidad de que esto ocurra. Calcule la probabilidad de que la próxima ampolletadure más de un mes.Problema 2. [52] Un contador Geiger está registrando radiación a una tasa promedio de 1 impacto/minuto.Sea T 3 el tiempo cuando el tercer impacto es registrado. Determine P (2 < T 3 < 3).Problema 3. Sea {N(t), t ≥ 0} un proceso de Poisson. Demuestre que para s < t y 0 ≤ m ≤ n se tieneP (N(t) = m|N(t) = n) =(nm) (st) m (1 − s t) n−m.11. Investiga acerca de los procesos de Poisson con la Teoría de Colas y la Teoría de Renovación.Problema 1. Investigue los aportes de A. K. Erlang a la Teoría de Colas. ¿En qué problema estaba Erlanginteresado?Problema 2. ¿Qué problema de la vida cotidiana puede ser modelado como un proceso de renovación?248
Matemática .:. Probabilidades .:. BibliografíaNota bibliográfica para el eje de ProbabilidadesPara los Niveles 1, 2 y 3 el libro de Pitman [52] es un muy buen libro de referencia que podría incluso ser usadocomo texto guía. También el libro de Ash [6] es una buena referencia para los primeros dos niveles, ya quecontiene y explica diversas estrategias para resolver problemas de conteo y probabilidades condicionales. Otrobuen texto de referencia para los Niveles 1, 2 y 3 es el texto de Ross [55].Existen muchos textos de referencia para el estudio de procesos estocásticos, pero ellos exceden los contenidosnecesarios para el Nivel 4. Para este nivel mencionamos como una muy buena referencia el libro de de Durrett[19].Sugerencias para la implementación curricularEs muy importante desarrollar intuición para comprender el significado de las probabilidades. El uso de programascomputacionales para simular experimentos puede contribuir a desarrollar intuición y a comprender elsignificado de los Teoremas Límites.Bibliografía para el eje[6] Ash, Carol The Probability Tutoring Book, Wiley Interscience, 1993.[16] DeGroot, Morris H., Probabilidad y Estadística, Segunda Edición, Addison-Wesley Iberoamericana, 1988.[19] Durrett, Rick, Essentials of Stochastics Processes, Springer Texts in Statistics, 1999.[23] Feller, William, Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus Aplicaciones, Volumen 1. Editorial Limusa,1975.[26] Grimmett, G. R. y Stirzaker, D. R., Probability and Random Processes, Second Edition, Oxford SciencePublications, 1992.[31] Hoel, Paul G., Port, Sidney C. y Stone, Charles J., Introduction to Probability Theory. Houghton MifflinCompany, Boston, 1971.[45] McCord, James R. y Moroney, Richard M., Probability Theory, The Macmillan Company, New York, 1964.[49] Mosteller, Frederick, Rourke, Robert E. K. y Thomas, George B., Probability and Statistics, Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1961.249
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