EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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9. Calcula densidades condicionales en casos simples. Comprende la noción de variables aleatoriasindependientes.Problema 1. Suponga que la densidad conjunta de X e Y está dada por f(x, y) = 6xy(2 − x − y) con0 < x < 1, 0 < y < 1. Calcule la densidad condicional f X|Y (x|y).Problema 2. Un punto (X, Y ) se selecciona al azar en el rectánguloS = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 4}.a) Determine la distribución conjunta de X, Y y la distribuciones de X e Y .b) ¿Son X e Y independientes?10. Calcula densidades y esperanzas de funciones de dos o más variables aleatorias independientes.Problema 1. [16] Sean X 1 , X 2 , . . . , X n variables aleatorias independientes, cada una con distribuciónuniforme en [0, 1]. Calcule la función distribución y la densidad de M = máx{X 1 , X 2 , . . . , X n }.Problema 2. Suponga que X e Y son independientes y tienen distribución exponencial con parámetros λy µ. Calcule la densidad de X + Y .Problema 3. [55] Sean X 1 , . . . , X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas conmedia µ y varianza σ 2 y sea ¯X = 1 n∑ ni=1 X i. Pruebe que:a) E( ¯X) = µ.b) Var( ¯X) = σ2n .c) E (∑ ni=1 (X i − ¯X) 2) = (n − 1)σ 2 .11. Calcula covarianzas de variables aleatorias.Problema 1. Sea X una variable aleatoria uniforme en [0, 1]. Pruebe que Cov(X, X 2 ) = 0.Problema 2. Considere X 1 , X 2 , . . . variables aleatorias independientes con esperanza µ i y varianza σ 2 ipara i ≥ 1 y sea Y k = X k + X k+1 + X k+2 . Para j ≥ 0 y k ≥ 1 encuentre Cov(Y k , Y k+j ).12. Usa la función generadora de momentos ψ X para determinar distribuciones.Problema 1. Sea X una variable aleatoria exponencial con λ = 1.a) Calcule ψ X (t) para t < 1 y E(X n ) para todo n ≥ 0.b) Sea Y = 2X + 5. Calcule ψ Y (t) y determine su rango de definición.242
Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 3Problema 2. Pruebe que si X 1 , . . . , X n son variables aleatorias normales independientes con media µ i yvarianza σi 2 para i = 1, . . . , n, entonces ∑ ni=1 X i es normal con media ∑ ni=1 µ i y varianza ∑ ni=1 σ2 i .13. Aplica la la Ley Débil de los Grandes Números para variables aleatorias continuas.Problema 1. Sean {X i } i≥1 los dígitos de un número N elegido al azar en [0, 1], es decir, el número puedeser expresado como N = 0, X 1 X 2 X 3 . . .a) Explique por qué los dígitos {X i } son variables aleatorias independientes equiprobables en {0,1,. . . ,9}.b) Usando la Ley Débil de los Grandes Números, pruebe que la frecuencia relativa del dígito 1 en losprimeros n dígitos de N es aproximadamente 1/10 para n grande.14. Aplica el Teorema Central de Límite para variables aleatorias continuas.Problema 1. Sean X i , i = 1, . . . , 30, variables aleatorias independientes, cada una con distribución uniformeen [0, 1]. Estime P ( ∑ 30i=1 X i > 12).Problema 2. [6] La duración promedio de una ampolleta es de 10, 2 días con desviación estándar 9 días.Cuando una ampolleta se quema es reemplazada por una idéntica. Encuentre la probabilidad de que en lospróximos 3 años se usen más de 100 ampolletas.243
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