Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

9. Calcula densidades condicionales en casos simples. Comprende la noción de variables aleatoriasindependientes.Problema 1. Suponga que la densidad conjunta de X e Y está dada por f(x, y) = 6xy(2 − x − y) con0 < x < 1, 0 < y < 1. Calcule la densidad condicional f X|Y (x|y).Problema 2. Un punto (X, Y ) se selecciona al azar en el rectánguloS = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 4}.a) Determine la distribución conjunta de X, Y y la distribuciones de X e Y .b) ¿Son X e Y independientes?10. Calcula densidades y esperanzas de funciones de dos o más variables aleatorias independientes.Problema 1. [16] Sean X 1 , X 2 , . . . , X n variables aleatorias independientes, cada una con distribuciónuniforme en [0, 1]. Calcule la función distribución y la densidad de M = máx{X 1 , X 2 , . . . , X n }.Problema 2. Suponga que X e Y son independientes y tienen distribución exponencial con parámetros λy µ. Calcule la densidad de X + Y .Problema 3. [55] Sean X 1 , . . . , X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas conmedia µ y varianza σ 2 y sea ¯X = 1 n∑ ni=1 X i. Pruebe que:a) E( ¯X) = µ.b) Var( ¯X) = σ2n .c) E (∑ ni=1 (X i − ¯X) 2) = (n − 1)σ 2 .11. Calcula covarianzas de variables aleatorias.Problema 1. Sea X una variable aleatoria uniforme en [0, 1]. Pruebe que Cov(X, X 2 ) = 0.Problema 2. Considere X 1 , X 2 , . . . variables aleatorias independientes con esperanza µ i y varianza σ 2 ipara i ≥ 1 y sea Y k = X k + X k+1 + X k+2 . Para j ≥ 0 y k ≥ 1 encuentre Cov(Y k , Y k+j ).12. Usa la función generadora de momentos ψ X para determinar distribuciones.Problema 1. Sea X una variable aleatoria exponencial con λ = 1.a) Calcule ψ X (t) para t < 1 y E(X n ) para todo n ≥ 0.b) Sea Y = 2X + 5. Calcule ψ Y (t) y determine su rango de definición.242