EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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2. Relaciona la densidad de probabilidad con la función de distribución de una variable aleatoria continua.Problema 1. [55] Suponga que la función de distribución de una variable aleatoria X es la siguiente:Calcule la densidad de probabilidad de X.⎧⎪⎨ e x−3 para x ≤ 3,F (x) =⎪⎩1 para x > 3.Problema 2. [55] Suponga que la densidad de probabilidad de una variable aleatoria X es la siguiente:⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩a) Determine el valor de t tal que P (X ≤ t) = 1/4.b) Determine el valor de t tal que P (X ≥ t) = 1/2.43x 2 para 1 ≤ x ≤ 40 en otro caso.3. Calcula la densidad y función de distribución de una función de una variable aleatoria. Aplica lafórmula de cambio de variables.Problema 1. [55] Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución F . Definimos lavariable aleatoria Y = F (X). Encuentre la función distribución de Y .Problema 2. [6] Sea X una variable aleatoria en [0, 5] con densidad f(x) = 1/5. Sea Y el volumen de laesfera de radio X. Determine la densidad de Y .Problema 3. [31] Suponga que X tiene densidad f(x) = λe −λx para x > 0 y f(x) = 0 para x ≤ 0.Encuentre la distribución de Y = X β con β ≠ 0.4. Encuentra probabilidades usando la distribución Uniforme.Problema 1. [55] Un punto es escogido al azar en un segmento de línea de largo L. Encuentre la probabilidadde que el cuociente entre el segmento más corto y el más largo sea menor que 1/4.Problema 2. Los trenes con destino A llegan a la estación en intervalos de 15 minutos desde las 7:00A.M., mientras que los con destino B llegan en intervalos de 15 minutos desde las 7:05 A.M. Un pasajerollega a la estación de acuerdo a un tiempo uniformente distribuido entre las 7:00 A.M. y 8:00 A.M. y tomael primer tren que llega.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero tome el tren A?240
Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 3b) ¿Cómo cambia su respuesta si el pasajero llega a la estación en un tiempo uniformemente distribuidoentre 7:10 A.M. y 8:10 A.M.?5. Calcula probabilidades usando la distribución exponencial f(x) = λe −λt y conoce sus propiedades.Problema 1. [52] Demuestre que si X tiene distribución exponencial, entonces [X], la parte entera de X,tiene distribución geométrica en {0, 1, 2, . . .}.Problema 2. [6] Un programa de radio recibe llamadas cuya duración es una variable aleatoria con distribuciónexponencial con λ = 3.a) Encuentre la probabilidad de que una llamada dure menos de 2 minutos.b) Suponga que una llamada ha durado 1 minuto, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos que tresminutos?6. Calcula probabilidades con la distribución normal f(x) = 1σ √ 2π e−(x−µ)2 /2σ 2 .Problema 1. [52] Suponga que la distribución de la altura en una población grande de individuos es normal.Un 10 % de la población mide más de 1, 8 m y la altura promedio es 1, 6 m. ¿Cuál es aproximadamentela probabilidad de que en un grupo de 100 personas elegidas al azar dos o más midan más de 1, 9 m?Problema 2. Sea X una variable aleatoria con distribución normal. Encuentre la densidad de e X .7. Calcula esperanzas y momentos de variables aleatorias continuas.Problema 1. Suponga que X tiene distribución dada por f(x) = λ 2 e−λ|x| con λ > 0. Calcule la esperanzay la varianza de X.8. Calcula la distribución conjunta de variables aleatorias en casos simples.Problema 1. El vector aleatorio (X, Y ) tiene una distribución uniforme en el discoD = {(x, y) / 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1}.Encuentre la probabilidad de que la distancia de (X, Y ) al origen sea mayor que d para 0 ≤ d ≤ 1.Problema 2. Suponga que un punto (X 1 , X 2 , X 3 ) tiene una distribución uniforme enS = {(x 1 , x 2 , x 3 ) / 0 ≤ x i ≤ 1, i = 1, 2, 3}.Determine:a) P ((X 1 − 1 2 )2 + (X 2 − 1 2 )2 + (X 3 − 1 2 )2 ≤ 1 4 ).b) P (X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 ≤ 1).241
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