EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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9. Se familiariza con la distribución de Poisson. Comprende la deducción de esta distribución como unlímite de la distribución binomial.Problema 1. [55] El número de accidentes que ocurren en una carretera cada día tiene una distribución dePoisson con parámetro λ = 3.a) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy ocurran tres o más accidentes?b) Repita el ejercicio anterior suponiendo que al menos hay un accidente hoy.Problema 2. [31] Un máquina produce tornillos de los cuales un 1 % son defectuosos. Estime la probabilidadde que en una caja de 200 tornillos haya a lo más 2 tornillos defectuosos.10. Calcula esperanzas de variables aleatorias discretas.Problema 1. Pruebe que la distribución de una variable aleatoria X con valores posibles 0, 1, 2 está determinadapor µ 1 = E(X) y µ 2 = E(X 2 ).Problema 2. [6] Una pareja decide tener hijos hasta tener una niña, pero deciden tener un máximo de treshijos aún si no han tenido una niña. Determine el número esperado de: a) hijos, b) niñas, c) niños.Problema 3. [6] Una permutación de a 1 , . . . , a n tiene un punto fijo si a i está en la posición i en la permutación.Por ejemplo, la permutación a 2 a 1 a 3 a 4 a 6 a 5 tiene dos puntos fijos: a 3 y a 4 . Si una permutación dea 1 , . . . , a n es elegida al azar ¿cuál es el número esperado de puntos fijos?Problema 4. En un circuito con n interruptores, el interruptor i está cerrado con probabilidad p i , i =1, . . . , n. Sea X el número de interruptores que están cerrados. Calcule E(X).Problema 5. El juego de San Petersburgo. Considere el siguiente juego:“El jugador lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara. Si T es el número de tiradas antes de laprimera cara, entonces el jugador recibe un pago de 2 T ”.Suponga que para jugar este juego debe pagar una entrada. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar?11. Calcula la varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta.Problema 1. Encuentre la varianza del número de caras obtenidos al lanzar n veces una moneda. ¿Cuál esla varianza del número de sellos?Problema 2. [52] Sean A 1 , A 2 y A 3 eventos con probabilidades 1 5 , 1 4 y 1 3, respectivamente. Sea N elnúmero de eventos que ocurren. Calcule E(N). Calcule Var(N) cuando:a) A 1 , A 2 y A 3 son disjuntos.b) A 1 , A 2 y A 3 son independientes.c) A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 .236
Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 212. Calcula covarianzas de variables aleatorias discretas.Problema 1. Sean X 1 , X 2 y X 3 variables aleatorias independientes con varianzas σ 2 1, σ 2 2 y σ 2 3, respectivamente.Encuentre la correlación entre X 1 − X 2 y X 2 + X 3 .Problema 2. Una urna contiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. Dos bolas son extraidas, sin reemplazo, de laurna. Sea X el número en la primera bola e Y el número en la segunda bola. Calcule Cov(X, Y ).13. Aplica la desigualdad de Chebychev para estimar probabilidades y tamaños de muestras.Problema 1. Suponga que una variable aleatoria X tiene esperanza E(X) = µ y E ( (X − µ) 4) = β.Demuestre que P (|X − µ| ≥ t) ≤ β/t 4 .Problema 2. [31] Suponga que X tiene una distribución Poisson con parámetro λ, pruebe que:P(X ≤ λ )≤ 4 2 λ y P (X ≥ 2λ) ≤ 1 λ .Problema 3. [16] Se realizan n lanzamientos de una moneda. Para i = 1, . . . , n, consideramos X i = 1 siel resultado de la i-ésima tirada es cara y X i = 0 si es sello. Estime el número de veces que se debe lanzarla moneda para obtenerP(0, 45 ≤ 1 n)n∑X i ≤ 0, 55 ≥ 0, 9.14. Comprende y aplica la Ley Débil de los Grandes Números.i=1Problema 1. La Ley Débil de los Grandes Números es probada suponiendo que las variables aleatoriaspromediadas X k son independientes e idénticamente distribuidas. Determine si es posible generalizar estaley a los siguientes casos:a) Para todo n ≠ k, las variables aleatorias X n y X k son independientes y para todo n, las variablesX n están idénticamente distribuidas.b) Para todo n ≠ k, las variables aleatorias X n y X k son independientes y para todo n, las variablesX n tienen la misma esperanza y varianza.c) Para todo n ≠ k, Cov(X n , X k ) = 0 y para todo n, las variables X n están idénticamente distribuidas.d) Para todo n ≠ k, Cov(X n , X k ) = 0 y para todo n, las variables X n tienen la misma esperanza yvarianza.Problema 2. [26] Una moneda es lanzada repetidas veces, con p la probabilidad de obtener cara. Sean C ny S n el número de caras y sellos después de n lanzamientos de la moneda, respectivamente. Demuestreque para δ > 0cuando n → ∞.P(2p − 1 − δ ≤ 1 )n (C n − S n ) ≤ 2p − 1 + δ → 1,237
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