EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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Problema 2. [55] Sea X una variable aleatoria con función distribución acumulada dada por:⎧⎪⎨P (X ≤ x) =Calcule la distribución de la variable aleatoria X.⎪⎩0 x < 0,120 ≤ x < 1,351 ≤ x < 2,452 ≤ x < 3,9103 ≤ x < 3, 5,1 x ≥ 3, 5.3. Encuentra la distribución de una función de una variable aleatoria.Problema 1. [52] Sea X el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Calcule la distribuciónde las variables aleatorias X 2 , 3X y |X − 2|.4. Determina la distribución conjunta de variables aleatorias y también de funciones de dos variablesaleatorias.Problema 1. [52] Una moneda es lanzada tres veces. Sea X el número de caras obtenidas en las primerasdos tiradas e Y el número de caras en las últimas dos tiradas. Calcule la distribución conjunta de X e Y yencuentre la distribución de X + Y .Problema 2. [52] Sea X el máximo e Y el mínimo de tres números escogidos al azar, sin repetición, delconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Calcule la distribución conjunta de X e Y .5. Calcula distribuciones condicionales. Comprende la noción de variables aleatorias independientes.Problema 1. [52] Dos dados son lanzados independientemente. Sea X el máximo de las dos tiradas e Yel mínimo. Calcule P (Y = n|X = m) para n, m = 1, . . . , 6.Problema 2. [52] Sean X e Y variables aleatorias discretas independientes que toman valores enterosno-negativos. Pruebe quen∑P (X + Y = n) = P (X = k)P (Y = n − k).k=0Encuentre la probabilidad de que la suma de cuatro dados independientes sea 8 usando las variables aleatoriasX, la suma de dos de los dados, e Y , la suma de los otros dos.Problema 3. [52] Sea S la suma de los números obtenidos al lanzar dos dados sesgados independientes conprobabilidades asociadas p 1 , . . . , p 6 y r 1 , . . . , r 6 respectivamente, con p i , r i positivas para i = 1, . . . , 6.a) Calcule P (S = k) para k = 2, 7, 12.234
Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 2b) Pruebe que P (S = 7) > P (S = 2) r 6+ P (S = 12) r 1.r 1 r 6c) Deduzca que, sin importar como los dados están sesgados, los valores 2, 7 y 12 no pueden serequiprobables para S. En particular, la suma no puede estar uniformemente distribuida en 2, . . . , 12.6. Se familiariza con la noción de paseo al azar.Problema 1. Consideramos el siguiente modelo para el paseo al azar de una partícula en {0, 1, 2, 3, 4}. Lapartícula se mueve a la derecha o izquierda con probabilidad 1/2, pero si está en 0 y se trata de mover a laizquierda se queda en 0 y si está en 4 y se trata de mover a la derecha se queda en 4. Sea X n la posición dela partícula al transcurrir n intervalos de tiempo. Determine P (X n = i|X n+1 = j) para i, j = 0, 1, 2, 3, 4.Si inicialmente la partícula elige el punto de partida al azar, determine P (X 3 = i) para i = 0, 1, 2, 3, 4.7. Conoce ejemplos de variables aleatorias con distribución Bernoulli, Binomial y Multinomial.Problema 1. Suponga que una característica física en un individuo está determinado por un par de genes.Si representamos por d el gen dominante y r el gen recesivo, entonces un individuo con genes dd esdominante, con genes rr es recesivo y con genes rd es híbrido. El gen dominante se manifiesta de lamisma forma en individuos dominantes e híbridos. Suponga que dos padres híbridos tienen 5 hijos. Sea Xel número de hijos que manifiestan el gen dominante, calcule P (X = n) para n = 1, . . . , 5.Problema 2. [52] Suponga que (N 1 , . . . , N m ) tiene una distribución multinomial con parámetros n yp 1 , . . . , p m . Sean 1 ≤ i < j ≤ n. Responda a las siguientes preguntas sin hacer cálculos:a) ¿Cuál es la densidad de N i ?b) ¿Cuál es la densidad de N i + N j ?c) ¿Cuál es la densidad conjunta de N i , N j y n − N i − N j ?8. Conoce ejemplos de variables aleatorias con distribución Geométrica.Problema 1. [50] La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen escrito necesario para obteneruna licencia de piloto privado es 0,7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante apruebe el examenen:a) El tercer intento.b) Antes del quinto intento.Problema 2. Sea X una variable aleatoria con distribución Geométrica. Demuestre queP (X = n + k|X > n) = P (X = k).Dé una explicación intuitiva de por qué esto es cierto.235
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