Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El estudiante se familiariza con los principales elementos de las geometrías no euclideanas. Se familiarizacon la geometría esférica y con el modelo de Poincaré para la geometría hiperbólica. Conoce la funcióninversión del plano, fundamental en la geometría de Lobachevsky. Utiliza movimientos rígidos para demostrarpropiedades en el plano de Lobachevsky. Relaciona el semi plano de Poincaré con el plano de Lobachevsky através de una aplicación conforme. Conoce propiedades de las perspectividades en la geometría proyectiva yaplica el principio de dualidad a proposiciones en el plano proyectivo. Investiga los inicios de la geometría proyectiva.Adquiere elementos de la geometría fractal. Construye fractales en el plano y en el espacio y reconoceprocesos iterativos con la propiedad de autosimilaridad. Calcula la dimensión y el área de algunos fractales.Investiga acerca de los conjuntos de Julia y de Mandelbrot.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Calcula longitud, ángulos y construye triángulos en la geometría esférica.Problema 1. Dados los puntos A de latitud 33 ◦ 30 ′ S y longitud 70 ◦ 40 ′ O y B de latitud 56 ◦ 30 ′ N ylongitud 38 ◦ 50 ′ E sobre la esfera terrestre, determine la distancia entre ellos.Problema 2. En los casos que sea posible la construcción, describa completamente un triángulo de:a) lados a = 160 ◦ , b = 110 ◦ y c = 85 ◦ .b) ángulos A = 60 ◦ , B = 20 ◦ y C = 90 ◦ .c) ángulos A = 30 ◦ , B = 37 ◦ y C = 130 ◦ .Problema 3. [44] Considere una esfera de radio R. Pruebe que el área T de un triángulo esférico ABCde ángulos interiores α, β y γ es T = R 2 (α + β + γ − π).Problema 4. [44] Sea ABC un triángulo rectángulo en una esfera de radio R, con ángulo recto en C ylados a, b y c como en la figura. Use producto interno para probar que cos( c R ) = cos( a R ) cos( b R ).211