EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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11. Encuentra aplicaciones conformes entre dos dominios en algunos casos simples.Problema 1. [59] Encuentre un mapa conforme biyectivo entre el interior de la región definida por losarcos circulares descritos en la figura y el semiplano Im(w) ≥ 0.Problema 2. [7] Dos circunferencias C 1 y C 2 son tangentes en un punto α y se construye una secuenciade circunferencias tangentes a C 1 , C 2 y entre ellas como se indica en la figuraAplique la transformación conforme w = 1/(z −α) a la figura para demostrar que los puntos de tangenciaa 1 , a 2 , a 3 , . . . están en una circunferencia.12. Investiga el significado de una superficie orientable y su relación con la cinta de Möbius.Problema 1. [42] La cinta de Möbius se puede parametrizar como −→ x (θ, s) = f(θ) + sg(θ), donde:f(θ) = cos θ î + sen θ ĵ,g(θ) = sen θ 2 cos θ î + sen θ 2 sen θ ĵ + cos θ 2 ˆk,208
Matemática .:. Geometría .:. Nivel 3con θ ∈ [0, 2π] y s ∈ (−1/2, 1/2).a) Haga un bosquejo de la cinta de Möbius usando esta parametrización.b) ¿Qué pasa si el círculo cos θ î + sen θ ĵ se extrae de la cinta?c) ¿Es la superficie resultante orientable?d) ¿Cómo definiría usted el área de la cinta de Möbius?13. Investiga sobre las curvas geodésicas en una superficie. Investiga acerca del Teorema de Gauss-Bonnet en su forma local y global y algunas de sus consecuencias.Problema 1. Realice una investigación acerca del significado de las curvas geodésicas en una superficie.¿Qué representan estas curvas? ¿Qué condiciones de minimalidad tienen las geodésicas?Problema 2. Sea T un triángulo geodésico en una superficie orientable S. Usando el Teorema Local deGauss-Bonnet pruebe que la suma de los ángulos interiores del triángulo T es:a) Mayor que π si K > 0 en S.b) Menor que π si K < 0 en S.c) Igual a π si K = 0 en S.Problema 3. Realice una investigación acerca de la clasificación de las superficies compactas conexas através de la característica de Euler-Poincaré.Problema 4. Realice una investigación acerca del Teorema de Poincaré, que relaciona la característica deEuler-Poincaré de una superficie S y el número de ceros de un campo vectorial tangente a S. ¿Es posiblepeinar una esfera sin encontrarse con un remolino?14. Investiga los aportes de B. Riemann al estudio de las funciones de variable compleja.Problema 1. Investigue el aporte de B. Riemann al estudio de las funciones de variable compleja, enparticular el Teorema de Riemann. ¿Qué enfoque privilegiaba Riemann para estudiar las funciones devariable compleja?Matemáticos importantes como A. Cauchy también se abocaron al estudio de las funciones de variablecompleja. ¿Qué otros enfoques fueron usados para estudiar estas funciones?Problema 2. Investigue acerca del rol de las funciones de variable compleja en aspectos fundamentales deTeoría de Números, particularmente en el estudio de la distribución de números primos. Investigue acercade la Hipótesis de Riemann y su relación con los números primos.209
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[56] Ross, Sheldon, Stochastic Proc
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