EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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Calcule la curvatura de Gauss K. Determine los subconjuntos de T donde K > 0, K < 0 y K = 0.Problema 4. El catenoide es la superficie parametrizada porγ(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v),con 0 de revolución resulta al rotar la catenaria y = cosh z conrespecto al eje Z. Pruebe que la curvatura media del catenoide es 0.5. Opera con funciones complejas elementales.Problema 1. Encuentre la parte real e imaginaria de las funciones ¯z/(1 + z) y z 2 e 2z .Problema 2. [59] Pruebe que:a) cos(¯z) = cos(z).b) senh 2 (z/2) = 1 2(cosh(z) − 1).c) Si | sen(z)| = 1 entonces |Im(z)| ≤ log( √ 2 + 1).6. Se familiariza con la función arg y log.Problema 1. [59] Encuentre todos los valores de:(1a) log2 − √ )32 i .b) (1 + i) i .7. Comprende la noción de derivada de una función de variable compleja. Usando las condicionesde Cauchy- Riemann determina si una función es analítica. Calcula derivadas aplicando reglas dederivación.Problema 1. [59] Usando las condiciones de Cauchy-Riemann, pruebe que la función f(z) = ¯zz 2 no esanalítica en ningún dominio de C.Problema 2. Si f es analítica en C, demuestre quecuando f(z) ≠ 0.Problema 3. Calcule d dz[cos(iz − 2) z2] .ddz log(f(z)) = f ′ (z)f(z) ,8. Relaciona la noción de aplicación conforme y de función analítica.Problema 1. ¿En qué puntos la transformación w = sen(z) es conforme?206
Matemática .:. Geometría .:. Nivel 3Problema 2. [59] A las rectas y = 2x y x + y = 6 en el plano z se les aplica la transformación w = z 2 .Muestre gráficamente las imágenes de estas rectas en el plano w y encuentre su ángulo de intersección.Problema 3. Considere la transformación w = 2z − 3i¯z y el triángulo T en el plano z con vértices i, 1 − iy 1 + i. Pruebe que la imagen del triángulo T es un triángulo T ′ en el plano w. ¿Son T y T ′ similares?9. Opera con las transformaciones de Möbius.Problema 1. Considere las transformaciones de Möbius:T 1 z = z + 2z + 3y T 2 z = zz + 1 .Encuentre T 1 ◦ T 2 , T 2 ◦ T 1 y T −11 ◦ T 2 .Problema 2. [1] Considere T z = (z − i)/(z + i). Encuentre la imagen de los siguientes conjuntos alaplicar T :a) El rayo it con t ≥ 0.b) La circunferencia |z − 1| = 1.c) La semi circunferencia |z| = 1 con Im(z) ≥ 0.10. Usa la razón cruzada para encontrar transformaciones de Möbius. Reconoce las propiedades geométricasde las transformaciones de Möbius.Problema 1. [59] Encuentre una transformación de Möbius que transforme los vértices 1 + i, −i y 2 − ide un triángulo ∆ en el plano z en los puntos 0, 1 e i del plano w, respectivamente. Bosqueje la región delplano w en la cual es transformado el interior del triángulo ∆.Problema 2. Considere la transformación de Möbiusy el disco D = {z ∈ C / |z| ≤ 1}. Pruebe que:a) Si |α| 2 − |γ| 2 = 1, entonces T (D) = D.T z =αz + ¯γγz + ᾱ ,b) Si |α| 2 − |γ| 2 = −1, entonces T (D) = {z ∈ C /|z| ≥ 1}.Problema 3. [1] Encuentre:a) El punto simétrico de z = 0 con respecto al círculo |z| = 2.b) El punto simétrico z = i con respecto al círculo |z + 1| = 1.c) La transformación de Möbius que transforma el círculo |z| = 2 en |z + 1| = 1, el punto -2 en 0 y el0 en i.207
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K4 = ~ Z2 X Z 2Eje 2Estructuras Alg
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[56] Ross, Sheldon, Stochastic Proc
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