Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El alumno comprende el concepto de superficie parametrizada en R 3 y de carta local. Calcula elplano tangente a una superficie en un punto.Reconoce superficies definidas como superficies de nivel, como grafo de una función suave y como superficiede revolución.El estudiante comprende la definición de curvaturas principales de una superficie. Calcula la curvatura media yla curvatura de Gauss de una superficie. Investiga acerca del significado de las curvas geodésicas, el Teorema deGauss-Bonnet y algunas de sus consecuencias.El alumno aborda el estudio de las funciones de variable compleja, enfatizando sus aspectos más geométricos.Analiza las propiedades geométricas de las transformaciones de Möbius.Comprende el concepto de derivada de función de variable compleja y aplica las condiciones de Cauchy-Riemann para determinar diferenciabilidad. Relaciona el concepto de función analítica y aplicación conforme.Estudia geométricamente algunas funciones elementales y determina transformaciones conformes entre dominiossimplemente conexos en algunos casos simples.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Comprende el concepto de superficie parametrizada regular.Problema 1. [42] Pruebe queγ(u, v) = 1 2 (u + v)î + 1 2 (u − v)ĵ + uvˆk, u, v ∈ R,es una parametrización regular del paraboloide hiperbólico P : x 3 = x 2 1−x 2 2. Describa las curvas γ(·, v 0 ),γ(u 0 , ·), donde u 0 , v 0 ∈ R están fijos.Problema 2. [18] Considere una curva regular α : R → R 3 , con curvatura κ(t) ≠ 0 para todo t. DefinimosS, la superficie tangente a α, como la superficie parametrizada por γ(t, v) = α(t) + vα ′ (t) con t ∈ R,v ∈ R \ {0}. Demuestre que S es una superficie regular.203