Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 2Problema 4. [17] Muestre que la curva parametrizada por γ(t) = (a cos t, a sen t, b cosh(at/b)) cona, b > 0, está contenida en el cilindro x 2 + y 2 = a 2 . Pruebe que el plano osculante en cualquier puntode la curva, forma un ángulo constante con el plano tangente al cilindro en ese punto.15. Calcula e interpreta la curvatura y la torsión de una curva. Determina el radio y centro de curvatura.Problema 1. Considere la parametrización x(θ) = a cos θ, y(θ) = b sen θ con θ ∈ [0, 2π] de la elipseE : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 con 0 < b < a. Verifique que en los puntos (−a, 0) y (a, 0) la función |κ(θ)|alcanza su máximo y en (0, −b) y (0, b) su mínimo.Problema 2. [18] Sea C una curva regular parametrizada por α : I → R 2 , tal que su curvatura κ(t) es nonula para todo t ∈ I. La curva parametrizada por β(t) = α(t) + 1κ(t)n(t) se denomina la “curva evoluta”de C. Pruebe que el vector tangente de β(t) en t es el vector normal a α(t). Estudie la curva evoluta de lacatenaria.Problema 3. Encuentre la torsión para la curva dada por (t − sen t, 1 − cos t, t) t ∈ R.16. Investiga acerca de la Fórmula de Euler-Poincaré.Problema 1. Realice una investigación acerca de la representación de poliedros usando diagramas deSchlegel. Encuentre la representación de los cinco poliedros regulares usando diagramas de Schlegel.¿Cómo se relaciona la Fórmula de Euler-Poincaré para poliedros con la Fórmula de Euler para grafos?201