EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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9. Aplica la fórmula de Euler-Poincaré para poliedros simplemente conexos. Mediante esta fórmulaencuentra los cinco poliedros regulares.Problema 1. [15] Considere un poliedro simplemente conexo con C caras, A aristas y V vértices. Parai = 1, . . . , C, p i denota el número de lados de la cara i, es decir, la i-ésima cara es p i -agonal y del vérticej, con j = 1, . . . , V , salen q j caras. Demuestre queC∑V∑p i = 2A = q j .i=1j=1Deduzca que un poliedro simplemente conexo tiene una cara triangular o desde un vértice salen tres caras.10. Utiliza coordenadas cilíndricas y esféricas para describir conjuntos simples de R 3 .Problema 1. Escriba las siguientes ecuaciones en coordenadas esféricas y cilíndricas:a) x 2 − y 2 − 2z 2 = 4.b) x 2 + y 2 = 2y.Problema 2. [61] Bosqueje el sólido descrito por las siguientes desigualdades:a) r 2 ≤ z ≤ 2 − r 2 , donde (r, θ, z) representan coordenadas cilíndricas, es decirx = r cos θ, y = r sen θ, z = z.b) −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/6, 0 ≤ ρ ≤ sec φ, donde (ρ, θ, φ) representan las coordenadasesféricas de un punto, es decirx = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ.11. Comprende el concepto de curva parametrizada. Calcula el vector tangente a una curva.Problema 1. Determine una parametrización para la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 con el planox + y + z = 1.Problema 2. Demuestre que la curva planar C parametrizada por:(x(t), y(t)) =( a(1 − t 2 )) 2bt1 + t 2 ,1 + t 2 , t ∈ R,está contenida en la elipse E : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. ¿Son los conjuntos E y C iguales?Problema 3. [42] Sean a, b ∈ R con 2b 2 = 3a. Demuestre que el vector tangente a la curva (at, bt 2 , t 3 ),t ∈ R, forma un ángulo constante con el vector (1, 0, 1).198
Matemática .:. Geometría .:. Nivel 2Problema 4. [13] El epicicloide E es una curva planar generada por un punto P en la circunferencia Cde radio c, cuando ésta rueda sin resbalar en el exterior de una circunferencia fija C 0 de radio a, comomuestra la figura:Suponiendo que el punto P está en (a, 0) cuando t = 0, E se puede parametrizar como( ) a + cx(t) = (a + c) cos t − c cos t ,c( ) a + cy(t) = (a + c) sen t − c sen t .cPara a = 3 y c = 1 encuentre los puntos no regulares de E y bosqueje esta curva.12. Calcula la recta tangente y el plano normal a una curva en un punto.Problema 1. [18] Sea C la curva parametrizada porα(t) =([sen t, cos t + log tan t ]), t ∈ (0, π).2Esta curva se denomina tractriz.a) Pruebe que el ángulo entre el eje Y y el vector α ′ (t) es t.b) Encuentre los puntos no regulares de C.c) Pruebe que para todo P ≠ (1, 0) en C, el segmento de la recta tangente a C en P , entre el punto Py el eje Y tiene largo 1.Problema 2. [17] Sea C una curva parametrizada regular.199
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[56] Ross, Sheldon, Stochastic Proc
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