Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 2e) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas.f )Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas.g) Dos planos paralelos a una recta son paralelos.h) Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos.i) Dos planos se cortan o son paralelos.Problema 2. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (0, −1, 5) y es perpendicular al plano 3x −y + 9z = 6.6. Conoce la ecuación de la esfera en R 3 .Problema 1. [61] Sean a, b ∈ R 3 con a ≠ 0 o b ≠ 0. Demuestre que el conjunto solución de la ecuación(x − a) · (x − b) = 0 es una esfera y encuentre su radio y su centro.Problema 2. El punto P = (2, 3, 6) pertenece a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 49. Encuentre la ecuación delplano tangente a la esfera que pasa por P . Demuestre que cualquier recta que pasa por P corta la esferaen un punto Q ≠ P , a menos que ésta esté contenida en el plano tangente.7. Clasifica las superficies cuadráticas en su forma canónica y cuando hay traslación de ejes.Problema 1. [61] Encuentre una ecuación para la superficie formada por los puntos P ∈ R 3 , para los quela distancia de P al eje X es el doble de la distancia de P al plano Y Z. Identifique esta superficie.Problema 2. Clasifique y bosqueje las siguientes superficies cuadráticas:a) x 2 + 4y 2 + 2z 2 − 2x + 32y + 8z = 27.b) 4x 2 + y 2 − z 2 + 12x − 2y + 4z = 12.Problema 3. [61] Demuestre que si (a, b, c) pertenece al paraboloide hiperbólico P : z = x 2 − y 2 ,entonces las rectas de ecuaciones paramétricas x = a + t, y = b + t, z = c + 2(b − a)t y x = a + t, y =b − t, z = c − 2(b + a)t están contenidas en P .8. Demuestra y describe propiedades de poliedros.Problema 1. Considere un prisma recto de base triangular ABC y altura h. Sobre las caras laterales, queson rectángulos, se construyen semi-cilindros. Pruebe que la suma de dos de esos volúmenes es igual alvolumen del tercer semi-cilindro si y sólo si la base triangular del prisma es un triángulo rectángulo.Problema 2. [15] Seis rombos congruentes de ángulos 60 ◦ y 120 ◦ se unen para formar un “romboedro”.Desde los vértices opuestos agudos de este sólido se pueden cortar dos tetraedros regulares de tal maneraque lo que queda es un octaedro regular. En otras palabras, dos tetraedros y un octaedro pueden juntarsepara formar un romboedro. Deduzca que un tetraedro y un octaedro regulares tienen ángulos diedralessuplementarios y que con un número infinito de tetraedros y octaedros regulares se puede cubrir el espacio.197