Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Problema 2. La recta que pasa por el foco de una parábola y es perpendicular a la directriz, se denominaeje de la parábola. El punto en el cual la parábola corta al eje es el vértice. Pruebe que el largo delsegmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola, es el doble de la distancia del focoa la directriz.Problema 3. Se puede demostrar que la tangente a una parábola P : y 2 = 4ax en (x 1 , y 1 ) ∈ P está dadapor2ax − y 1 y + 2ax 1 = 0.Use esta fórmula para probar que la recta normal a la parábola en (x 1 , y 1 ), bisecta el ángulo formado porla recta entre el foco y (x 1 , y 1 ) y la recta que pasa por (x 1 , y 1 ) paralela al eje de P . Esta propiedad implicaque un espejo parabólico reflejará un rayo de luz paralelo al eje, si la fuente de luz puntual es colocada enel foco. ¿Cómo funcionan las antenas parabólicas?16. Relaciona características geométricas de la elipse con expresiones algebraicas. Identifica sus focos,ejes, directrices y excentricidad.Problema 1. Demuestre que el conjunto de puntos del plano que satisfacenx 2 + 4y 2 + 4x − 12y = 51,es una elipse. Encuentre sus focos y la distancia entre ellos.Problema 2. Pruebe que las rectas y = mx ± √ m 2 a 2 + b 2 con m ≠ 0 tienen sólo un punto en comúncon la elipse E : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 y, por lo tanto, son tangentes a ésta. Use este resultado para probarque si dos rectas tangentes a la elipse E son perpendiculares, entonces se intersectan en un punto de lacircunferencia x 2 + y 2 = a 2 + b 2 .Problema 3. Considere la curva de ecuaciónx 2 − xy + y 2 − 2 √ 2x + 2 √ 2y = 0.Elimine el término en xy mediante una rotación apropiada de los ejes de coordenadas. Considere luegouna traslación que le permita identificar la curva y todos sus elementos geométricos característicos.17. Relaciona características geométricas de la hipérbola con expresiones algebraicas. Identifica susfocos, directrices, excentricidad y asíntotas.Problema 1. Encuentre los focos y asíntotas de las hipérbolas:a) x 2 − 9y 2 + 6x + 18y = 18.b) 4xy + 6x = 1.192