EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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8. Es capaz de relacionar las medidas de ángulos y lados usando razones trigonométricas.Problema 1. Con el fin de medir la altura h de un edificio distante, se midieron los ángulos de elevaciónα y β desde dos puntos A y B, respectivamente, a L metros de distancia entre sí. Encuentre una expresiónde la altura h en términos de L y de ambos ángulos, para el caso en que los puntos A y B están del mismolado del edificio y para el caso en que están uno de cada lado.9. Aplica propiedades de las funciones trigonométricas.Problema 1. Pruebe que para todo x, y ∈ R,cos(2x − 3y) + cos(3y)sen(2x − 3y) + sen(3y) = 1tan(x) .Problema 2. Encuentre el conjunto solución de la ecuacióncos(2x) = cos(x) + sen(x).10. Resuelve problemas geométricos aplicando los Teoremas del Seno y del Coseno.Problema 1. Una persona al borde de un canal de 3 [m] de ancho observa dos objetos en la otra orilla quese encuentran a 15 ◦ a su izquierda y a 45 ◦ a su derecha respectivamente. ¿A qué distancia se encuentranlos objetos entre sí y del observador?Problema 2. El ángulo de elevación de la cima de una colina desde un punto A es α. Al avanzar c metroshacia la cima, ascendiendo por una pendiente inclinada en un ángulo β respecto del plano horizontal, seobserva la cima con un ángulo de elevación γ. Encuentre la altura de la colina en función de los datosentregados.11. Traslada y rota ejes de coordenadas.Problema 1. Demuestre que la suma A + C de los coeficientes de x 2 e y 2 en la ecuación general desegundo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = 0, es invariante bajo rotación de los ejes de coordenadas,es decir A+C = A ′ +C ′ , donde A ′ , C ′ corresponden a los coeficientes de la ecuación en los ejes rotados,para cualquier ángulo de rotación.Problema 2. Los ejes X e Y giran en un ángulo de 45 ◦ . Encuentre la ecuación de la curva 2xy = 1 en elnuevo sistema X ′ , Y ′ .12. Construye rectas. Identifica algebraicamente paralelismo y perpendicularidad. Calcula el ánguloentre dos rectas.Problema 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1, −4) y que es perpendicular a larecta x − 2y + 2 = 0.190
Matemática .:. Geometría .:. Nivel 1Problema 2. Pruebe que al intersectar las siguientes rectas se forma un paralelógramo:2x − 3y = 5; 4x + 5y = 1; 6y − 4x = 3; 3 − 8x − 10y = 0.Problema 3. Encuentre los ángulos de un triángulo con vértices (−1, 0), (2, −1) y (4, 1).13. Calcula la distancia entre dos puntos del plano y entre un punto y una recta.Problema 1. Demuestre que el largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados noparalelos de un trapecio es igual a la mitad de la suma de los largos de los lados paralelos.Problema 2. Demuestre que el área A de un triángulo cuyos vértices son (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 )está dada porA = 1 2 [x 1(y 2 − y 3 ) − y 1 (x 2 − x 3 ) + (x 2 y 3 − x 3 y 2 )].Problema 3. Pruebe que los segmentos de línea que unen los puntos medios de lados adyacentes de uncuadrilátero forman un paralelógramo.Problema 4. Encuentre la ecuación de la recta que bisecta los ángulos agudos formados al intersectar lasrectas 3x − y − 8 = 0 y x − 3y = 0.14. Demuestra propiedades geométricas de la circunferencia a partir de su expresión algebraica.Problema 1. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias que satisfacen las condiciones:a) Contiene a los puntos (5, 1), (4, 2) y (−2, −6).b) Contiene a los puntos (1, 4) y (−2, 3) y su centro está en la recta x − 2y = 6.Problema 2. Sea S el conjunto de puntos cuya distancia a (2, −1) es el doble de la distancia a (6, 6).Demuestre que S es una circunferencia y encuentre su centro y radio.Problema 3. Demuestre analíticamente que la recta perpendicular al punto medio de cualquier cuerda deun círculo, pasa por el centro de ésta.Problema 4. Sean C 1 y C 2 dos circunferencias no concéntricas cuya intersección consiste en dos puntosA y B. La recta que pasa por A y B es denominada el eje radical. Pruebe que un punto P está en el ejeradical si y sólo si los segmentos tangentes desde P a ambas circunferencias miden lo mismo.15. Relaciona características geométricas de la parábola con expresiones algebraicas.Problema 1. Encuentre las ecuaciones de las parábolas que satisfacen las condiciones:a) Foco en (0, 4) y cuya directriz es la recta x = −8.b) Foco en (0, 0) y cuya directriz es la recta x + y = 4.191
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