EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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) Describa a qué movimiento se asocian las trayectorias oscilantes no acotadas que avanzan hacia laderecha.c) Los puntos (0, 0) y (π, 0) son puntos de equilibrio del péndulo. Indique cuál de ellos es estable ydiga cómo se puede obtener esa información del diagrama de fase.d) Describa las trayectorias asociada a energía cero. ¿Es posible observar estas trayectorias en un pénduloconcreto? ¿Porqué?Problema 2. El diagrama de fase de la figura corresponde a una ecuación de la formaẍ + f(x) = 0.Identifique cualitativamente la función f, es decir indique sus ceros, puntos críticos y haga un bosquejo desu forma.15. Conoce las ecuaciones de Lorenz y su importancia.Problema 1. a)¿Qué fenómeno físico quería describir Lorenz usando estas ecuaciones?b) ¿Cuántas variables tiene el sistema y de qué orden es? ¿Es lineal?c) Si bien el sistema satiface las hipótesis del Teorema de Existencia y Unicidad, ¿qué característica delas soluciones hace que su comportamiento sea impredecible?d) ¿Porqué este sistema es importante en el desarrollo de la Ciencia?16. Encuentra la serie de Fourier de una función y determina su convergencia.Problema 1. Obtenga la expansión en serie de Fourier de las siguientes funciones, definidas en el intervaloindicado, con período dado. Determine también los puntos de discontinuidad de las funciones y el límitede la serie en dichos puntos.a) f(x) = x si 0 < x ≤ 4 y f(x) = 4 si 4 ≤ x < 8, de período 8.b) f(x) = −x si −π < x < 0 y f(x) = x si 0 < x < π, de período 2π.174
Matemática .:. Análisis .:. Nivel 417. Resuelve problemas de dos puntos usando series de Fourier.Problema 1. [60]a) Resuelva la ecuación diferencialu ′′ + 1 2 u = cos2 (x),x ∈ (0, π),con las condiciones de borde u(0) = u(π) = 0.b) Esta ecuación modela el pandeo de una viga. Identifique los elementos físicos de la ecuación, comofuerza distribuida y fuerza de compresión.18. Modela usando la ecuación de difusión.Problema 1. [60] Considere una barra metálica de 100 [cm] de longitud con los extremos en x = 0 yx = 100, mantenidos a 0 ◦ C. Inicialmente la mitad de la barra está a 60 ◦ C, mientras que la otra mitadestá a 40 ◦ C. Si la constante de difusión es de 0, 16 unidades cgs y que la superficie de la barra está aislada,plantee la ecuación diferencial que gobierna la temperatura de la barra. Explique cómo usa las hipótesis.Problema 2. Interprete la ecuación que aparece en el Problema 1a del Indicador 17 en el contexto de unestado estacionario de la ecuación del calor. ¿Cómo interpreta el término 1 2u en el lado izquierdo?Problema 3. [60] Se sabe que un producto químico se difunde por una barra porosa de longitud L. Losextremos de la barra se encuentran aislados, es decir, no hay flujo del producto a través de los extremos.Inicialmente la barra tiene una concentración del químico según la función u 0 y la constante de difusión esκ. Plantee una ecuación diferencial para describir la evolución de la concentración a lo largo del tiempo.19. Resuelve la ecuación del calor en situaciones simples usando series de Fourier.Problema 1. [60]a) Resuelva la ecuación planteada en el Problema 1 del Indicador 18.b) Considere que la distribución de temperatura en la barra cambia a u 0 : [0, 100] → R, dada poru 0 (x) = 0 si x ∈ [0, 40] o x ∈ [60, 100] y u 0 (x) = 100 si x ∈ (40, 60).c) En los dos casos anteriores, ¿cuál es la temperatura de la barra después de un tiempo muy largo?Problema 2. En la ecuación del Problema 2 del Indicador 18, indique la concentración que tendrá elquímico en la barra después de un tiempo muy largo.20. Es capaz de investigar acerca de la evolución histórica de conceptos importantes y acerca de teoríasactuales.Problema 1. Investigue sobre la noción de sistema caótico.175
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[56] Ross, Sheldon, Stochastic Proc
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