EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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) Encuentre la solución general de la ecuación2y ′′ − 3y ′ + y = (t 2 + 1)e t .10. Modela el problema de vibraciones mecánicas e interpreta sus soluciones.Problema 1. Indique qué leyes de la Física se usan para determinar la ecuación del movimiento de unapartícula adosada a un resorte. Indique las fuerzas que actúan cuando hay amortiguamiento.Problema 2. [10] Un objeto de 4 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante elástica igual a 64[N/m] y se le somete a una fuerza externa igual a F (t) = C cos 3 (ωt), donde C es una constante positiva.Encuentre todos los valores de ω para los cuales hay resonancia.Problema 3. [10] Un objeto de 1 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante elástica igual a 64[N/m]. Con la masa en reposo, en la posición de equilibrio del resorte en t = 0, se aplica una fuerzaexterna F (t) = t/2 [N] hasta t 1 = 7π/16 [s], momento en que deja de actuar. Suponiendo que no hayamortiguamiento, encuentre la frecuencia y amplitud de las oscilaciones resultantes.Problema 4. [10] Un pequeño objeto de 1 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante k = 1[N/m]. Este sistema masa-resorte es sumergido en un líquido viscoso con constante de amortiguamientoc. Se aplica una fuerza externa F (t) = 3 − cos(t) [N] al sistema. Determine el mínimo valor positivo c demodo que la magnitud de la solución estacionaria no exceda 5 [cm].11. Comprende las analogías entre el problema de vibraciones mecánicas y el de circuitos eléctricos.Problema 1. Describa en detalle un problema de circuitos eléctricos que sea análogo al Problema 2 delIndicador 10. Describa los supuestos físicos que permiten escribir las ecuaciones.Problema 2. Considere un circuito en serie con constantes L, R y C y un voltaje aplicado E 0 sen(ωt).¿Para qué frecuencia ω se obtiene una corriente estacionaria máxima?12. Resuelve sistemas de ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes. Aplica la fórmula devariación de parámetros.Problema 1. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales de primer orden:(D + 1)x + 2y = 1,2x + (D − 2)y = t.Problema 2. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:(2D − 2)x + (D − 7)y = t − 1,(3D − 2)x + (2D − 8)y = e −t .172
Matemática .:. Análisis .:. Nivel 413. Construye e identifica diagramas de fase para sistemas lineales.Problema 1. Determine las órbitas del sistema de ecuaciones diferencialesdxdtdydt= −x − y,= x − y.Problema 2. Cada uno de los siguientes diagramas de fase corresponde a un sistema lineal de dos ecuacionesde primer orden. Indique en cada caso qué características tienen los valores propios de la matriz delsistema.14. Construye e interpreta diagramas de fase para sistemas no lineales conservativos.Problema 1. El movimiento de un péndulo se puede describir por una ecuación de segundo orden¨θ + sen(θ) = 0.La figura representa el diagrama de fase correspondiente a esta ecuación.a) Describa a qué movimiento se asocian las trayectorias cerradas en torno a cero.173
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