Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 47. Propone modificaciones simples del método de Euler.Problema 1. En el método de Euler podemos considerar el término hf(x k , y k ) como una aproximacióndel área bajo la curva x → f(x, y(x)) sobre el eje x entre x k y x k+1 . Si esta misma área se aproxima porh2 [f(x k, y k ) + f(x k , ỹ k )],con ỹ k = y k +hf(x k , y k ), determine el error cometido en un paso, es decir, y(x k+1 )−y k+1 , considerandoque y(x k ) = y k y que f es Lipschitz continua en el segundo argumento.8. Aplica el Teorema de Existencia y Unicidad y sus consecuencias directas para analizar el espacio desoluciones. Comprende el rol del Wronskiano en el estudio de la independencia lineal de soluciones.Problema 1. Considere la ecuación diferencialy ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = 0, t ∈ R,donde p y q son funciones continuas.Indique si las siguientes afirmaciones relativas a esta ecuación son verdaderas o falsas y justifique surespuesta:a) Las soluciones de la ecuación existen para todo t ∈ R sólo si las funciones p y q son acotadas.b) La ecuación siempre tiene infinitas soluciones definidas cerca de t = 0.c) Si un par de soluciones y 1 y y 2 de la ecuación son tales que y 1 (t 0 ) = y 2 (t 0 ) y y 1(t ′ 0 ) = y 2(t ′ 0 )entonces y 1 (t) = y 2 (t) y y 1(t) ′ = y 2(t) ′ para todo t ≥ t 0 .d) Existen funciones p y q continuas tal que la función y(t) = t 2 es solución.e) El espacio vectorial de soluciones de (1) tiene dimensión 2.Problema 2. Considere las funciones y 1 (t) = t 2 e y 2 (t) = t|t|. Demuestre que y 1 e y 2 son linealmenteindependientes. Calcule el Wronskiano de y 1 e y 2 y comente.Problema 3. Demuestre que si las funciones y 1 e y 2 tienen un mínimo o un máximo local en un mismopunto entonces y 1 e y 2 son linealmente dependientes o una de ellas no es solución de la ecuación delProblema 1.9. Resuelve ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes, en el caso homogéneo y en el casono homogéneo, con lado derecho simple.Problema 1. a)Resuelva la siguiente ecuación3y ′′ + 4y ′ + y = e −t sen(t), con y(0) = 1, y ′ (0) = 0.171