Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Problema 3. Si la constante de Lipschitz de la función f en el Problema 2 es M ¿en qué intervalo sepuede aplicar el teorema de punto fijo de Banach para encontrar una solución de x ′ (t) = f(t, x(t))?Problema 4. Construya las primeras 3 iteraciones del método de Picard para resolver la ecuación y ′ =e t +y 2 , con y(0) = 0. Si se continúa iterando se genera una sucesión. ¿Qué puede decir de la convergenciade dicha sucesión?5. Compara modelos de ecuaciones diferenciales con modelos discretos asociados.Problema 1. El crecimiento de la población de una cierta especie puede describirse de la siguiente manera:La variación del número de individuos por unidad de tiempo es igual a 2 veces la población actual menosel cuadrado de esta misma. Se han propuesto los siguientes modelos para describir esta población,suponiendo que inicialmente hay 10 individuos:dpdt = 2p − p2 , con p(0) = 10,p n+1 − p n = 2p n − p 2 n, con p 0 = 10,yq n+1 = q n + 1 4 (2q n − q 2 n), con q 0 = 10.a) Determine p(5), p 5 y q 20 . Compare.b) Describa situaciones en las cuales es más conveniente uno de los modelos frente a los otros dos.c) Tratándose de una población que se reproduce en períodos muy cortos de tiempo, como es el casode las bacterias, uno dispone de un modelo continuo y otro discreto. Naturalmente ambos sonaproximaciones de la realidad. Sin información adicional, ¿cuál cree que es más conveniente y porqué?6. Estima el error al usar el método de Euler para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales deprimer orden.Problema 1. Determine una cota superior para el error cometido al usar el método de Euler con un paso hpara obtener una solución aproximada deen el intervalo [0, 1].dydx = x − y4 , con y(0) = 0,170