Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 43. Comprende el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para ecuaciones de primer orden.Problema 1. Indique una condición suficiente (y no trivial) sobre f para garantizar que la ecuaciónx ′ = f(x, t), con x(0) = x 0 ,tenga una solución x(t) para todo t ∈ R.Problema 2. Considere la ecuaciónx ′ = 1 + x 2 , con x(t 0 ) = x 0 .Encuentre el intervalo máximo donde una solución existe.Problema 3. Encuentre una solución del problema de valor inicialx ′ = t √ 1 − x 2 , con x(0) = 1,distinta de x(t) ≡ 1. ¿Contradice esto el teorema de existencia y unicidad?4. Comprende el Teorema de Punto Fijo de Banach y lo aplica para demostrar el Teorema de Existenciade Soluciones a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.Problema 1. Justifique la utilización del teorema de punto fijo de Banach para encontrar una solución alsistemax − 1 cos(x + y)2= 3,y − 1 3 log(1 + x2 + y 2 ) = 5.¿Es única la solución?Problema 2. Suponga que la función f : (−1, 1) × R → R es continua. Demuestre que los siguientesproblemas son equivalentes:a) Encontrar una función continua x : (−1, 1) → R tal quex(t) = x 0 +∫ t0f(s, x(s))ds, ∀t ∈ [−1, 1].b) Encontrar una función diferenciable x : (−1, 1) → R tal quex ′ (t) = f(t, x(t)), ∀t ∈ [−1, 1], con x(0) = x 0 .169