EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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cual los parámetros cambian a A y B, que satisfacen Q > A/B. En ese momento la población comienzaa decrecer hasta que nuevamente alcanza el nivel de población q, que se supone satisface q > A/B. Eneste momento la población nuevamente se rige por el modelo original. Se produce así un comportamientoperiódico entre los valores q y Q.a) Demuestre que el tiempo T 1 que dura la primera parte del ciclo, de q a Q, está dado porT 1 = 1 [ ] Q(a − bq)a log .q(a − bQ)b) Encuentre el tiempo T 2 que dura la segunda parte del ciclo, de Q a q.Problema 3. [10] Un modelo muy conocido para describir la diseminación de innovaciones tecnológicasen el ámbito de las empresas es el siguiente:dpdt= cp(N − p), con p(0) = 1,donde p es el número de empresas que han adoptado la innovación y N es el número total de empresas.Este modelo puede usarse para describir muchos otros fenómenos sociales, como por ejemplo la diseminaciónde un rumor.a) Describa porqué este es un modelo razonable para describir diseminación tecnológica.b) Calcule el tiempo que transcurre desde que el 20 % de la población adoptó la innovación hasta queel 80 % la adoptó. Este número se conoce como tasa de imitación.Problema 4. Un estanque contiene S 0 kilos de sal disuelta en 1000 litros de agua. Comenzando en t = 0,entra al estanque una solución que contiene 0, 1 kilo de sal por litro de agua a una tasa de 4 litros por minutoy sale por una válvula de escape a la misma tasa. Encuentre la concentración de sal en cada instante.Haga explícita las hipótesis que hace para que su modelo sea válido. Muestre ejemplos en los cuales esashipótesis se cumplen y otro ejemplo donde no se cumplen.2. Describe e interpreta geométricamente una ecuación diferencial de primer orden.Problema 1. Dibuje en el plano el campo de direcciones de la ecuación diferencial y ′ = y − x. Identifiquelas soluciones y = x + 1 e y = x + 1 − e x .Problema 2. Considere la ecuación autónoma y ′ = y 4 − 2y 3 − 3y 2 . Dibuje el campo de direcciones eidentifique los puntos de equilibrio. Discuta e interprete geométricamente la estabilidad de cada uno deellos.168
Matemática .:. Análisis .:. Nivel 43. Comprende el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para ecuaciones de primer orden.Problema 1. Indique una condición suficiente (y no trivial) sobre f para garantizar que la ecuaciónx ′ = f(x, t), con x(0) = x 0 ,tenga una solución x(t) para todo t ∈ R.Problema 2. Considere la ecuaciónx ′ = 1 + x 2 , con x(t 0 ) = x 0 .Encuentre el intervalo máximo donde una solución existe.Problema 3. Encuentre una solución del problema de valor inicialx ′ = t √ 1 − x 2 , con x(0) = 1,distinta de x(t) ≡ 1. ¿Contradice esto el teorema de existencia y unicidad?4. Comprende el Teorema de Punto Fijo de Banach y lo aplica para demostrar el Teorema de Existenciade Soluciones a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.Problema 1. Justifique la utilización del teorema de punto fijo de Banach para encontrar una solución alsistemax − 1 cos(x + y)2= 3,y − 1 3 log(1 + x2 + y 2 ) = 5.¿Es única la solución?Problema 2. Suponga que la función f : (−1, 1) × R → R es continua. Demuestre que los siguientesproblemas son equivalentes:a) Encontrar una función continua x : (−1, 1) → R tal quex(t) = x 0 +∫ t0f(s, x(s))ds, ∀t ∈ [−1, 1].b) Encontrar una función diferenciable x : (−1, 1) → R tal quex ′ (t) = f(t, x(t)), ∀t ∈ [−1, 1], con x(0) = x 0 .169
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