Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

a) Demuestre que log(f(x)) es convexa si y sólo si(f ′ (x)) 2 ≤ f ′′ (x)f(x), x ∈ R.b) Extienda esta propiedad al caso de una función f : R 2 → R + .16. Aplica el criterio de multiplicadores de Lagrange para estudiar problemas de optimización conrestricciones.Problema 1. Una carpa tiene forma de cilindro con un cono superpuesto. Si se requiere que el radio delcilindro sea de 2 [m] y si se dispone de 30 [m 2 ] de lona, ¿de qué altura debe ser el cilindro y el cono paramaximizar el volumen?Problema 2. Sean a, b reales positivos tales que ab(a + b) = 1. Calcule el volumen máximo de los sólidosque tienen como base el triángulo con vértices (0, 0), (a, 0) y (0, b), cuyas secciones al cortar por planosparalelos al plano Y Z, son triángulos isósceles de base en el plano XY y altura 4.Problema 3. Teoría del consumidor en economía. A un consumidor le gusta comer galletas. El consumidortiene una cantidad fija G de galletas y puede comérselas durante los próximos D dias. La felicidadque le reporta al consumidor las galletas que come en el día i es U(g i ), donde g i es la cantidad de galletasque come en ese día y U es una función dos veces diferenciable y estrictamente cóncava que satisfaceU ′ (0) = 0 y U ′ no acotada. El consumidor quiere maximizar su felicidad durante los D días, y para elloresuelve el siguiente problemaMaximizarsujeto aD∑U(g i )i=1D∑g i = G.i=1¿Cuántas galletas come cada día?Nota: El consumidor puede comer cualquier fracción de galletas, es decir, g ifunción estrictamente creciente es inyectiva.∈ R. Recuerde que una17. Calcula integrales sobre dominios y usa el Teorema de Fubini.Problema 1. Calcule la integral∫ 6 ∫ 20 x/3e y2 dydx.Problema 2. Una placa metálica circular se encuentra en la región x 2 + y 2 ≤ 2y y tiene una densidad demasa ρ = x 2 + y 2 [gr/cm 2 ]. Calcule la masa de la placa.164