Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2Problema 4. Pruebe que e −x226. Obtiene relaciones y expresiones de números importantes.Problema 1. [20]= 1 − x 2 + x42! − x63! + · · · usando la expansión en serie de Taylor de ex .a) Pruebe que la expansión en serie de la función arctan(x) está dada por:arctan(x) =∞∑n=1b) Encuentre una expresión en serie para π 4 .c) Demuestre que, para − 1 ≤ x ≤ 1.2n + 1(−1) n x2n+1cuando el lado derecho está entre −π/2 y π/2.d) Pruebe que π 4 = 4 arctan ( ) (15 − arctan 1239).( ) x − yarctan(x) − arctan(y) = arctan ,1 + xye) En 1706, John Machin usó la expresión anterior para calcular las primeras cien cifras decimales de π.Usando la expansión en serie de arctan(x) calcule arctan ( ) (15 y arctan 1239), con un error menorque 5 × 10 −8 para probar que π se aproxima por 3, 14159.Problema 2. [61]a) Muestre que, para n = 1, 2, 3, . . .b) Deduzca que( ) ( ( ( )θ θ θ θsen(θ) = 2 n sen2 n cos cos . . . cos2)4)2 n .sen(θ)θ( ( ( θ θ θ= cos cos cos . . .2)4)8)El significado de este producto infinito es que tomamos el producto de los n primeros factores yluego tomamos el límite de esos productos parciales cuando n → ∞.c) Muestre que√ √ √2 2 2 + 2π = 2 2√2 + √ 2 + √ 2Este producto infinito se debe al matemático francés François Viète (1540 − 1603).27. Investiga acerca de la formulación del Teorema Fundamental del Cálculo.Problema 1. Realice una investigación acerca de los aportes de I. Barrow, G. Leibniz e I. Newton a laformulación del Teorema Fundamental del Cálculo. ¿En qué términos Leibniz formula este teorema? ¿Cuálfue el enfoque usado por Newton?2. . .157